Meia Vida

por yasluh Sex 08 maio 2015, 06:53

Foram encontrados, nas vizinhanças do Mar Morto, documentos muitos antigos que dão 12 desintegrações de C14 por minuto e por grama de carbono. Qual a idade desses documentos se a taxa atual de desintegracao do C na materia viva é de 14 desintegracoes por minuto e sua meia vida é de 5730 anos?

Não tenho o gabarito, gostaria de saber o método para resolver a questão.

por **Thálisson C** Sex 08 maio 2015, 08:10

A velocidade de decaimento segue uma cinética de primeira ordem:

$V = k\cdot N$

Onde N é o número de radionuclídeos da amostra, essa velocidade é dada em Bq (Becquerel), que são desintegrações por segundo.
k é a contante de decaimento e vale: $k = \frac{ln2}{t_{\frac{1}{2}}}$
Como a velocidade é proporcional ao número de radionuclídeos, e sabemos que: $N = \frac{N_{o}}{2^{n}}$ , podemos dizer que:

$V = \frac{V_{o}}{2^{n}}$

O tempo total transcorrido é o tempo de meia vida vezes a quantidade de tempo de meia vida que se passou (n) :

$t = t_{\frac{1}{2}} \cdot n \;\; \rightarrow \;\; n = \frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}$

substituindo:

$\\V = \frac{V_{o} }{2^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}}} \;\; \rightarrow \;\; 2^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}} = \frac{V_{o}}{V} \;\; \rightarrow \;\; \rightarrow \;\; ln2^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}}} = ln\frac{V_{o}}{V} \;\; \rightarrow \;\; \frac{t}{t_{\frac{1}{2}}} \cdot ln2 = ln\frac{V_{o}}{V}\\\\\\ e^{\frac{t}{t_{\frac{1}{2}}} \cdot ln2} = \frac{V_{o}}{V} \;\; \rightarrow \;\; \boxed{V = V_{o} \cdot e^{-kt}}$

Essa é a dedução da expressão que você vai utilizar nesse problema, cabe lembrar que como a velocidade é proporcional aos núcleos, podemos dizer também:

$\\ \boxed{N = N_{o} \cdot e^{-kt}} \;\; ou \;\; \boxed{m = m_{o} \cdot e^{-kt}}$

Agora aplicando ao problema:

$\\ V = V_{o} \cdot e^{-kt} \;\; \rightarrow \;\; 12 = 14 \cdot e^{-kt} \\\\ k = \frac{ln2}{t_{\frac{1}{2}}} = \frac{0,693}{5730} \;\; \rightarrow \;\; 12 = 14 \cdot e^{-\frac{0,693}{5730} \cdot t}$

Colocando isso no Wolfram: Shocked

]https://www.wolframalpha.com/input/?i=12%3D+14+%5Ctimes+e%5E%5B-%280.693%2F5730%29+%5Ctimes+x%5D

$\\ \boxed{t = 1274,58 \; anos}$

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