Questão 12 Moyses

por Rodrigo2309 Ter 28 Abr 2015, 12:41

Um jogador de futebol, a 20,5 m do gol adversário, levanta a bola com um chute a uma
velocidade inicial de 15/,m/s, passando-a ao centro avante do time, que está alinhado
com ele e o gol, a 5,5 m do gol. O centro avante, que tem 1,80 m de altura, acerta uma
cabeçada na bola, imprimindo-lhe um incremento de velocidade na direção horizontal, e
marca gol. (a) De que ângulo a bola havia sido levantada ? (b) Qual foi o incremento de
velocidade impressa à bola pela cabeçada ? Considere cuidadosamente todas as soluções
possíveis.
(resposta: (a) 28,5°; (b) 3,85 m/s)

Alguém poderia me ajudar

Agradeço

por **Elcioschin** Ter 28 Abr 2015, 14:14

Distância ente dos dois jogadores? d' = 20,5 - 5,5 = 15 m

Vx = V.cosθ ---> Vx = 15.cosθ
Vy = V.senθ ---> Vy = 15.senθ

d' = Vx.t ---> 15 = 15.cosθ.t ---> t = 1/cosθ ---> I

h = Vy.t - (1/2).g.t² ---> 1,8 = 15.senθ(1/cosθ) - 5.(1/cosθ)² ---> 1,8 = 15.senθ/cosθ - 5/cos²θ

1,8,cos²θ = 15.senθ.cosθ - 5 ---> 1,8.cos²θ + 5 = 15,senθ .cosθ ---> Elevando ao quadrado:

(1,8.cos²θ + 5)² = (15.senθ .cosθ)² --->

3,24.cos⁴θ + 18.cos²θ + 25 = 225.(1 - cos²θ).cos²θ

Calcule cos²θ na equação biquadrada, depois cosθ e finalmente θ(na calculadora)

por bradoquethomassales Seg 11 Jun 2018, 19:44

Elcioschin escreveu:Distância ente dos dois jogadores? d' = 20,5 - 5,5 = 15 m

Vx = V.cosθ ---> Vx = 15.cosθ
Vy = V.senθ ---> Vy = 15.senθ

d' = Vx.t ---> 15 = 15.cosθ.t ---> t = 1/cosθ ---> I

h = Vy.t - (1/2).g.t² ---> 1,8 = 15.senθ(1/cosθ) - 5.(1/cosθ)² ---> 1,8 = 15.senθ/cosθ - 5/cos²θ

1,8,cos²θ = 15.senθ.cosθ - 5 ---> 1,8.cos²θ + 5 = 15,senθ .cosθ ---> Elevando ao quadrado:

(1,8.cos²θ + 5)² = (15.senθ .cosθ)² --->

3,24.cos⁴θ + 18.cos²θ + 25 = 225.(1 - cos²θ).cos²θ

Calcule cos²θ na equação biquadrada, depois cosθ e finalmente θ(na calculadora)

Olá, boa noite.
A princípio, tentei responder a questão sem acessar alguma referencia, e cheguei a um resultado a partir de:
y=v○.d'.tgθ - 4,5.(1+ tg²θ)
e aplicando os dados conhecidos obtive um ângulo de 88,8º. que é incoerente com a situação descrita no texto da questão. Gostaria de saber qual é o erro de utilizar a expressão que digitei acima, comparado a expressão que o sr. apresentou, e que realmente produz um resultado de ângulo coerente.

Desde já agradeço.
Atenciosamente,
Douglas G.

por **Elcioschin** Seg 11 Jun 2018, 20:31

Faltou você mostrar o passo-a-passo de como chegou à sua expressão.

por bradoquethomassales Seg 11 Jun 2018, 21:08

Elcioschin escreveu:Faltou você mostrar o passo-a-passo de como chegou à sua expressão.

Sinto muito.

o passo a passo foi:
primeiro imaginei ser necessário encontrar o tempo que a bola permaneceu em lançamento desde quando foi chutada até ser cabeceada. e pra isso escrevi a expressão para a componente y fazendo-a igual a altura do centroavante:
y=1,8=v○ .senθ.t - (1/2).g.t²
daí, considerando a posição do levantador a 20,5 m do gol, e o centroavante a 5,5 m do gol. a distância horizontal percorrida entre o um jogador e outro é de 15 m, assim, levaria um tempo tal que:
x=15=v○.cosθ.t e logo t=15/v○.cosθ, e substituindo esse tempo para a expressão anterior, obtém-se:
1,8=v○.senθ.(x/v○.cosθ) - 4,9. (x/v○.cosθ)²
Considerando g=9,8, sendo (senθ/cosθ)=tgθ e (1/cos²θ)=sec²θ=1+tg²θ, então y=v○.d'.tgθ - 4,5.(d'/v○).(1+ tg²θ), que com os valores dados:
1,8=15.15.tgθ - 4,5.(15/15).(1+ tg²θ)

1,8=225.tgθ - 4,5.tg²θ - 4,5.
daí, calculei as raízes e em seguida as tangente inversa, encontrando os ângulos: 1,60º e 88,8°.
mas os dois resultados não são condizentes com a ideia do levantamento e cabeceamento da bola. tanto é que quando considerei o angulo para determinação da distância horizontal, o resultado foi uma discrepância.
Assim, gostaria, se possível, que me ajudasse a ver onde eu errei.

Desde já agradeço.

por bradoquethomassales Seg 11 Jun 2018, 21:16

bradoquethomassales escreveu:
Elcioschin escreveu:Faltou você mostrar o passo-a-passo de como chegou à sua expressão.
Sinto muito.

o passo a passo foi:
primeiro imaginei ser necessário encontrar o tempo que a bola permaneceu em lançamento desde quando foi chutada até ser cabeceada. e pra isso escrevi a expressão para a componente y fazendo-a igual a altura do centroavante:
y=1,8=v○ .senθ.t - (1/2).g.t²
daí, considerando a posição do levantador a 20,5 m do gol, e o centroavante a 5,5 m do gol. a distância horizontal percorrida entre o um jogador e outro é de 15 m, assim, levaria um tempo tal que:
x=15=v○.cosθ.t e logo t=15/v○.cosθ, e substituindo esse tempo para a expressão anterior, obtém-se:
1,8=v○.senθ.(x/v○.cosθ) - 4,9. (x/v○.cosθ)²
Considerando g=9,8, sendo (senθ/cosθ)=tgθ e (1/cos²θ)=sec²θ=1+tg²θ, então y=v○.d'.tgθ - 4,5.(d'/v○).(1+ tg²θ), que com os valores dados:
1,8=15.15.tgθ - 4,5.(15/15).(1+ tg²θ)

1,8=225.tgθ - 4,5.tg²θ - 4,5.
daí, calculei as raízes e em seguida as tangente inversa, encontrando os ângulos: 1,60º e 88,8°.
mas os dois resultados não são condizentes com a ideia do levantamento e cabeceamento da bola. tanto é que quando considerei o angulo para determinação da distância horizontal, o resultado foi uma discrepância.
Assim, gostaria, se possível, que me ajudasse a ver onde eu errei.

Desde já agradeço.

havia me esquecido de dividir a velocidade inicial no primeiro termo da expressão para o movimento vertical, que ao invés de 225, é apenas 15, mas ainda assim, o resultado não confere. o erro numério foi revisto, mas não entendi a falha na concepção do cálculo.

por **Elcioschin** Seg 11 Jun 2018, 21:42

Você fez o mesmo que eu e apenas complicou na Álgebra.

x = 15 = v0.cosT.t ---> x deve agora ser esquecido pois x = 15. Além disso v0 = 15, logo: t = 1/ cosT (igual ao meu resultado)

Aí, na próxima equação você voltou com o x (que não deveria mais aparecer!)

por bradoquethomassales Seg 11 Jun 2018, 22:02

Elcioschin escreveu:Você fez o mesmo que eu e apenas complicou na Álgebra.

x = 15 = v0.cosT.t ---> x deve agora ser esquecido pois x = 15. Além disso v0 = 15, logo: t = 1/ cosT (igual ao meu resultado)

Aí, na próxima equação você voltou com o x (que não deveria mais aparecer!)

Mancada a minha... como um cachorro correndo atras do póprio rabo.

valeu, muito obrigado.