Equação da Reta 1

O centro de feixe de retas é tambem o vértice de um quadrado de lado 5, cuja diagonal é representada pela reta x + 7y - 16 = 0.
determine as equações dos lados e da segunda diagonal deste quadrado.

Olá,

temos o feixe de retas definido por:

a*(2x - 3y + 20 ) + b*( 3x + 5y - 27 )

Quadrado com diagonal representada por x + 7y - 16 = 0

Dado o feixe de retas, seu centro será definido pela interseção das retas 2x - 3y + 20 e 3x + 5y - 27

Seja C o centro:

2x - 3y + 20 -> 2x - 3y = - 20

3x + 5y - 27 -> 3x + 5y = 27

6x - 9y = - 60

-6x - 10y = - 54
-----------------
- 19 y = - 114 => y = 6 => x = - 1 -> C(- 1, 6 ) -> vértice -> V1( - 1, 6 )

Reta (s) perpendicular a x + 7y - 16 = 0 passando por C:

t: x + 7y - 16 = 0 -> 7y = - x + 16 -> y = (- 1/7)x + (16/7) -> m = - 1/7

s: y - 6 = 7*(x + 1 ) -> y = 7x + 13

Interseção de s e t:

x + 7y - 16 = 0 -> x + 7y = 16

y = 7x + 13 -> 7x - y = - 13


- 7x - 49y = - 112

7x - y = - 13
-------------------
- 50y = - 125 => y = 5/2 -> x = - 3/2 -> I( - 3/2, 5/2 )


I é ponto médio de V1 e V2:


- 3/2 = ( xV2 - 1 )/2 => - 3 = xV2 - 1 => xV2 = - 2

5/2 = ( yV2 + 6 )/2 => yV2 = 5 - 6 = - 1 -> V2( - 2, - 1 )


V3 e V4 pertences a reta t, daí:


distância de V2 a V3:

d² = ( xV3 + 2 )² + ( yV3 + 1 )²

xV3² + yV3² + 4xV3 + 2yV3 + 5 = 25

como o pontence a t:

( 16 - 7yV3 )² + yV3² + 4( 16 - 7yV3 ) + 2yV3 = 20 -> 50*yV3 - 5*yV3 + 6 = 0

raízes: yV3 = 3 ou yV3 = 2

para yV3 = 3 -> xV3 = - 5 -> V3( - 5, 3 )

para yV3 = 2 -> xV3 = 2 -> V3( 2, 2 ) -> V4( 2, 2 )