integral tripla

por vinicius paiva duarte Sex 24 Abr 2015, 22:03

Considere o sólido Ω={(x,y,z)∈ R³;√6≤x²+y²+z²≤√18, x≥0,y≥0}. Qual o valor da integral tripla.

∫∫∫Ω(8x)dxdydz?

Use a aproximação π≈3.14 e escreva a resposta com até duas casas decimais.

por **mauk03** Sáb 25 Abr 2015, 13:50

Mudando de coordenadas cartesianas para esféricas:
$x=\rho \sin \varphi \cos \theta$
$dxdydz=\rho ^{2}\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta$

Observe que a região de integração é uma casca de um fuso esférico de pi/2 radianos, limitada pelos planos x = 0 e y = 0 e pelas esferas x² + y² + z² = √6 e x² + y² + z² = √18. Logo, $0\leq \theta \leq \frac{\pi }{2}$ , $0\leq \varphi \leq \pi$ e $\sqrt{6}\leq \rho \leq \sqrt{18}$ .

Assim, a integral é dada por:
$I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\pi }\int_{\sqrt{6}}^{\sqrt{18}}(8\rho \sin \varphi \cos \theta)\rho ^{2}\sin \varphi d\rho d\varphi d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\pi }\int_{\sqrt{6}}^{\sqrt{18}}8\rho ^{3}\sin ^{2}\varphi \cos \theta d\rho d\varphi d\theta$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\pi }\left [2\rho ^{4}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \right ]_{\sqrt{6}}^{\sqrt{18}} d\varphi d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\pi }576\sin ^{2}\varphi \cos \theta d\varphi d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\int_{0}^{\pi }576\left ( \frac{1-\cos 2\varphi }{2} \right )\cos \theta d\varphi d\theta$
$=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\left [288\left ( \varphi -\frac{\sin 2\varphi }{2} \right )\cos \theta \right ]_{0}^{\pi } d\theta =\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}288\pi \cos \theta d\theta =\left [288\pi \sin \theta \right ]_{0}^{\frac{\pi }{2}}$
$=288\pi=288\cdot 3,14=904,32$

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