(EN-1990) Função modular

por vitorraca Ter 21 Abr 2015, 21:31

A equação |2x+3| = ax +1

a)não possui solução para a < -2
b)possui duas soluções para a > 2
c)possui solução única para a < 2/3
d)possui solução única para -2< a <2/3
e)possui duas soluções para -2< a <2/3

Já tentei fazer essa questão várias vezes mas nao consigo analisar o valor de a

por **Carlos Adir** Ter 21 Abr 2015, 23:02

$\\ \begin{cases}x < \dfrac{-3}{2} \Rightarrow - (2x+3) = ax + 1 \Rightarrow x= \dfrac{-4}{a+2} \\ x> \dfrac{-3}{2} \Rightarrow (2x+3) = ax+1 \Rightarrow x = \dfrac{2}{a-2} \end{cases} \\ Portanto, \ temos \ duas \ solucoes \ em \ potencial: \\ \begin{cases}x = \dfrac{-4}{a+2} \\ x= \dfrac{2}{a-2} \end{cases}$

Assim, vejamos quando cada solução existe:

$\begin{cases} \dfrac{-4}{a+2}=x_1 < \dfrac{-3}{2} \Rightarrow \dfrac{3a-2}{a+2} < 0 \\ \dfrac{2}{a-2}= x_2 > \dfrac{-3}{2} \Rightarrow \dfrac{3a-2}{a-2} > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}-2 < a < \dfrac{2}{3} \\ a < \dfrac{2}{3} \ \ \ \mathrm{ou} \ \ \ 2 < a \end{cases}$

Portanto:
A solucao x_1 existe se -2 < a < 2/3
A solucao x_2 existe se a < 2/3 ou 2 < a

Então, temos o seguinte:
$\\ a < -2 \Rightarrow 1 \ solucao \\ -2 < a < \dfrac{2}{3} \Rightarrow 2 \ solucoes \\ \dfrac{2}{3} < a < 2 \Rightarrow 0 \ solucao \\ 2 < a \Rightarrow 1 \ solucao$

Letra E