Circunferência

Na circunferência de centro O tem raio r. Calcule BA•BC (BA escalar BC) em função de r e das medidas α e β dos ângulos indicados. A partir disso, prove que todo ângulo inscrito em uma semicircunferência é reto.

x = 90 - (a+b)/2
p = x + a/2 = 90 - (a+b)/2 + a/2 = 90 - b/2

|BA|² = R² + R² - 2R²cos(180-a)
|BA|² = 2R²(1+cosa)

|BC|² = R² + R² - 2R²cos(a+b)
|BC|² = 2R²(1-cos(a+b))

BA*BC = |BC||BA|cosp = 2R²√[(1+cosa)(1-cos(a+b)]*cos[90 - b/2]

Provar que todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto é imediato quando se sabe que o arco subentendido é 180°, o angulo entre BA e BC deve valer metade disso, 90°.
Mas, para provar que o ângulo inscrito que subentende uma semicunferência é 90°, deve-se lembrar que o produto escalar de vetores ortogonais é 0. Então igualemos o produto escalar a 0 e vejamos se resulta em p = 90°, como queremos:
2R²√[(1+cosa)(1-cos(a+b)]*cos[90 - b/2] = 0
cos[90-b/2] = 0
sen(b/2) = 0
b/2 = 0
b = 0, portanto:
p = 90 - b/2 = 90 - 0 = 90°, q.e.d.