Colégio naval - fatoração

por Fabinho snow Sáb Abr 04 2015, 14:04

A soma das raízes da equação $\sqrt[3]{\frac{53x-27}{9}} - \sqrt[6]{1458x-729} = -2$ é:
a)20,5
b)33,5
c)23,5
d)10,5
e)30,5

Ps: Já tentei substituir ∛(54x-27) por x² e jogar na outra raiz, mas não consegui :/

por **Carl Sagan** Sáb Abr 04 2015, 17:24

Acredito que a expressão da questão original é esta:
$\frac{\sqrt[3]{54x-27}}{3} - \sqrt[6]{1458x-729} = -2$

Para a primeira parcela:
$\frac{\sqrt[3]{(2 \cdot 27)x-27}}{3}=\frac{\sqrt[3]{27(2x-1)}}{3}=\frac{3 \cdot \sqrt[3]{2x-1}}{3}\\$

Para a Segunda:
$\sqrt[6]{2*27^{2}x-27^{2}}=\sqrt[6]{27^{2} \cdot (2x-1)}=\sqrt[3]{27}\sqrt[6]{2x-1}=3\sqrt[6]{2x-1}\\$

Juntando as duas:
$\sqrt[3]{2x-1}-3\sqrt[6]{2x-1}=-2\\$

que é uma equação do segundo grau. Fazendo:
$\sqrt[3]{2x-1}=y^{2}\\ \sqrt[6]{2x-1}=y\\ y^{2}-3y+2=0\\ S={1, 2}\\$

Substituindo nas raízes:
$\\ x>\frac{1}{2} \text{condicao}\\\\ \sqrt[6]{2x-1}=1\\ 2x=2 \rightarrow x=1\\\\ 2x-1=64\\ x'=\frac{65}{2}\\\\ x+x'=\frac{67}{2}=\boxed{33,5}$