Função

por leochip Qua 25 Mar 2015, 17:43

Sejam f,g: R->R funções tais que g(x)=1-x e f(x)+2f(2-x)=(x-1)³, para todo x∈R. Então f(g(x)) é igual a:
a] (x-1)³
b] (1-x)³
c] x³
d] x
e] 2-x

por **Carl Sagan** Qua 25 Mar 2015, 19:23

Fazendo x = 2-x na f(x) original:
$f(x)+2f(2-x)=(x-1)^{3}\\ f(2-x)+2f(2-(2-x))=((2-x)-1)^{3}\\ f(2-x)+2f(x)=-(x-1)^{3}\\ \color{red}f(2-x)=-(x-1)^{3}-2f(x)$

Substituindo o valor de f(2-x) encontrado na f(x) original:
$f(x)+2 \cdot (\color{Red}-(x-1)^{3}-2f(x)\color{Black})=(x-1)^{3}\\ f(x)-2 \cdot (x-1)^{3}-4f(x)=(x-1)^{3}\\ -3f(x)=3 \cdot (x-1)^{3}\\\\ \boxed{f(x)=(1-x)^{3}}$

Substituindo x por g(x):
$f(x)=(1-x)^{3}\\ f(x)=(1-(1-x))^{3}\\\\ \frac{f(x)=x^{3}}{}$

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