Função: Domínio e Imagem

Seja S = {1,2,3,4,5} e considere uma função Bijetora de S em S, tal que:

I. Seja x ∈ S, a imagem de x não pode ser igual a x-1, nem igual a x, nem igual a x+1
II. Seja x ∈ S e a imagem de x é y, então a imagem de y não pode ser nem x, nem x+1

Nessas condições, a imagem do número 3 é igual a:

a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

GABARITO:

Ninguém ?

Bijetora é uma função injetora e sobrejetora,isto é,todo contradomínio está recebendo 'flechada' e se f(x) = f(k) ----> x = k.
Então neste caso a função será a relação S² no qual temos que admitir as preposições I e II.
Como queremos saber apenas a imagem de 3,vamos escrever os pares ordenados em que a abcissa é igual a 3 :
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5)
Pela preposição I podemos eliminar (3,2),(3,4) e (3,3).Ficamos com :
(3,1) e (3,5). Vamos analisar a preposição II agora.

1)Seja 3 E S e a imagem de 3 é 1,então a imagem de 1  NÃO PODE ser nem 3,nem 4.
2)Seja 3 E S e a imagem de 3 é 5,então a imagem de 5 NÃO PODE ser nem 3 nem 4.
Analisando logicamente(com a preposição I) concluimos que a segunda alternativa está certa,logo a imagem de 3 é igual a 5.

Eu não sei se está certo esse modo de resolução,mas...

A (II) vamos arrumar:
Temos que f(x)=y, e que f(y)≠x ou x+1, então f(y)=f(f(x)) ---> f(f(x))≠x ou x+1
De (I) temos que f(x) ≠ x-1, x ou x+1
De (II) temos que f(f(x)) ≠ x ou x+1


Temos que de (I) f(1)=3, 4 ou 5
Temos que de (I) f(2)=4 ou 5
Temos que de (I) f(3)=1 ou 5
Temos que de (I) f(4)=1 ou 2
Temos que de (I) f(5)=1, 2 ou 3

Temos que de (II) f(f(1))≠ 1 ou 2
Temos que de (II) f(f(2))≠ 2 ou 3
Temos que de (II) f(f(3))≠ 3 ou 4
Temos que de (II) f(f(4))≠ 4 ou 5
Temos que de (II) f(f(5))≠ 5

Vamos para alguns casos:
Primeiro caso: f(3)=1

Consequentemente, temos que por a função ser bijetora, f(5)≠1, caso contrário, temos que f(3)=1 e f(5)=1
Portanto, f(5)=2
Consequentemente, f(2)=4 e f(4)=3.
Mas veja que f(4) não pode ser 3, pois contradiz a primeira condição. Então é um absurdo!
f(3)≠1

Segundo caso: f(3)=5

Agora vamos a outros dois casos:
2.1) f(f(3))=1:

Portanto, f(f(3))≠1

2.2) f(f(3))=2


Portanto, a função é definida como:




Ou podemos fazer uma análise gráfica:
Montamos os pontos, com cada ponto com seu valor.
Uma seta indica uma função aplicada.
As setas vermelhas indicam que não satisfaz a condição (I)
As setas pretas indicam que é possivel fazer, mas sem olharmos a condição (II)


Para a condição (II), temos que f(f(x))≠x ou x+1
Então, digamos que é um jogo de volei, uma pessoa não pode jogar para o seu lado(exceto o 1 para o 5 e o 5 para o 1).
E a pessoa que recebeu, além de não jogar pras pessoas ao redor, deve jogar pra outra pessoa que não seja a primeira ou a seguinte. Se duas pessoas nunca jogarem com a bola, então elas jogam sozinhas. Uma pessoa após receber uma bola de alguem, não pode receber bola de outra pessoa além desta.
Por exemplo, 1 jogou para o 3. 3 não pode jogar pra 2, ou 4, ou 1. Então é obrigado a jogar pro 5.

Deste modo, podemos perceber em algumas tentativas, que começa por 3:

i)  3 Joga para 1(opcional), que joga para o 5(obrigado, não joga pra 2, nem 3, nem 4), e 5 que joga pra 3(obrigado), que joga pra 1(obrigado)...
Assim, 2 e 4 jogam sozinhas. Mas veja que 4 retorna pra quem recebeu, então isto não vale.

ii)  3 Joga para 5(opcional), que joga pra 1(opcional), que joga para 3(opcional), que joga pra 5(obrigado) que joga pra 1(obrigado)...
2 e 4 jogam sozinhas, mesmo caso de i)

iii) 3 joga para 5(opcional),que joga para 1(opcional), que joga para 4(opcional), que joga para ninguem pois quebra a regra.

iv) 3 joga para 5(opcional), que joga para 2(opcional), que joga para 4(obrigado), que joga para 1(obrigado), que joga para 3(obrigado), que joga para 5(obrigado), que joga para 2(obrigado)...

Portanto, para a "brincadeira" dar certo, é necessário que siga a sequencia:

3---> 5----> 2 ----> 4 ----> 1 ----> 3 ----> 5 ----> ...

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