Integral para calcular a área

por neoreload Sáb 21 Mar 2015, 08:24

Como resolver essa :S :

Determine a área de superfície gerada pela rotação, em torno do eixo x, da curva: Integral para calcular a área UCko0msyiQEshXUqo1VGmDkngi6Jlqs1UgqAGfaoVaQQAOwAAAAAAAAAAAA==

Integral para calcular a área UCko0msyiQEshXUqo1VGmDkngi6Jlqs1UgqAGfaoVaQQAOwAAAAAAAAAAAA==

Resposta:

Estou no começo ainda :S. Se não for pedir muito, coloquem o passo a passo bem detalhado Very Happy

, pq ta difícil aprender Laughing

por **Mimetist** Sáb 21 Mar 2015, 14:54

Seja A a área da superfície de revolução S em torno do eixo x:

A(S)=2\pi\int_{a}^{b}f(x)\sqrt{1+(\frac{df(x)}{dx})^2} \ \ dx

Temos:

y=f(x)=2\sqrt{x} \rightarrow \frac{dy(x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{x}}

A(S)=2\pi\int_{1}^{2}2\sqrt{x}\sqrt{1+(\frac{1}{\sqrt{x}}})^2 \ \ dx=4\pi\int_{1}^{2}\sqrt{\frac{x(x+1)}{x}}} \ dx=

=4\pi\int_{1}^{2}\sqrt{x+1}\ dx \ \ \text{Esta etapa pode ser resolvida por substitui\c{c}\~ao.}

=4\pi\int_{1}^{2}\sqrt{x+1} \ dx = 4\pi(\frac{2(x+1)^{3/2}}{3}|_{1}^{2}\ )=4\pi(\frac{2(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})}{3})

Assim:

\boxed{A(S)=\frac{8\pi(3\sqrt{3}-2\sqrt{2})}{3}}

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