Equação do segundo grau CN

por Fabinho snow Dom 08 Mar 2015, 09:54

As raízes da eq. ax² + bx + c = 0 são iguais a m e n. Assinale a eq. cujas raízes são m³ e n³
a) a³x² - b(3ac + b²)x + c³ = 0
b)ax² - b(3ac - b²)x + c = 0
c)a³x² + b(b²-3ac)x + c = 0
d)a³x² + b(b²-3ac)x - c³ = 0
e)a³x² + b(b²-3ac)x + c³ = 0

Gabarito:

por **Carlos Adir** Dom 08 Mar 2015, 11:34

$\\ ax^2 + bx + c= a(x-m)(x-n)=ax^2-a(m+n)x+amn=0 \\ \Rightarrow \begin{cases}b=-a(m+n) \\ c=amn \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}m+n = \dfrac{-b}{a} \\ mn = \dfrac{c}{a} \end{cases}$

$(x-m^3)(x-n^3)=x^2-\left(m^3+n^3 \right )x+m^3n^3$

Como sabemos que:
$\begin{cases}m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2) \\ m^3n^3=(mn)^3 \end{cases}$
$\\ \begin{cases}m^2=\left(\dfrac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2\\ n^2 = \left(\dfrac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2 \end{cases} \\ \Rightarrow m^2 + n^2 = \left(\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2+\left(\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2 \\ \Rightarrow m^2+n^2= 2 \left(\dfrac{-b}{2a} \right )^2+2 \left(\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \right )^2 \\ \Rightarrow m^2+n^2 = \dfrac{b^2-2ac}{a^2}$

Então temos:
$\\ (x-m^3)(x-n^3)=x^2-\left(m+n \right )\left(m^2-mn+n^2 \right )x+\left(mn \right )^3= \\ = x^2 - \left(\dfrac{-b}{a} \right )\left(m^2-\dfrac{c}{a}+n^2 \right )x+\left(\dfrac{c}{a} \right )^3= \\ = x^2 + \left(\dfrac{b}{a} \right )\left(\dfrac{b^2-2ac}{a^2}-\dfrac{c}{a} \right )x+\dfrac{c^3}{a^3}= \\ = x^2 + \left(\dfrac{b(b^2-3ac)}{a^3}\right)x+\dfrac{c^3}{a^3}=0 \\ \Rightarrow a^3x^2+\left(b^2-3ac \right )bx+c^3=0$

por Convidado Dom 08 Mar 2015, 15:56

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$Equação do segundo grau CN Gif$
$Equação do segundo grau CN Gif$
$Equação do segundo grau CN Gif$
Substituindo os valores obtemos :
$Equação do segundo grau CN Gif$
De cara dá para perceber mesmo sem resolver nada antes que a resposta termina com C³ positivo .....Ficamos com as alternativas A e E apenas.Então é só igualar $Equação do segundo grau CN Gif$ com as alternativas e ver qual está correta.
Se fosse na prova eu resolveria assim....

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