trigonometria

por ary silva Qui 26 Fev 2015, 19:53

Qual o valor do produto do cos 72º . cos 36º ?

gabarito 1/4 Obrigado

por Lukash10 Qui 26 Fev 2015, 20:40

Observe que: cos 72 = cos 2.36.

Equacionando fica: cos 2.36 . cos 36

cos 2x = 2 cos^2x -1.

T = cos 36 ( 2 cos 36 -1 ).

O problema vem agora, achar o cos de 36 graus.
Pra isso vc terá que saber geometria plana.

"Para encontrar o seno e o cosseno de 36 eu utilizo o triângulo áureo (isósceles com ângulo do vértice 36 graus) ABC. Traço a bissetriz de um dos ângulos da base
(BD) e tenho uma semelhançaa entre os triângulos BDC e ABC.
Se a base BC mede x e os outros lados medem 1, temos: (1-x)/x = x . portanto
x =[sqrt(5) - 1]/2."

Com o resultado do cos 36 em mãos é só cálculo.

por **Carlos Adir** Qui 26 Fev 2015, 20:53

Temos um triângulo isósceles de lado 1 e x:
trigonometria CsrMikW

Então, por semelhança de triângulos:
$\\ \dfrac{x}{1}=\dfrac{1-x}{x} \Rightarrow x^2+x-1=0 \Rightarrow x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \\ cos \ 72^o = \dfrac{\left(\dfrac{x}{2} \right )}{1}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}$
$\\ cos \ 2x = cos^2 \ x - sen^2 \ x = cos^2 \ x - \left(1-cos^2 \ x \right ) \\ cos \ 2x = 2 cos^2 \ x - 1 \Rightarrow cos \ x = \sqrt{\dfrac{1+cos \ 2x}{2}}$
$\\ cos \ 36 ^o = \sqrt{\dfrac{1+cos \ 2 \cdot 36^o}{2}}=\sqrt{\dfrac{1+\left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4} \right )}{2}} \\ cos \ 36^o = \dfrac{\sqrt{6}+2 \sqrt{5}}{4}=\dfrac{\sqrt{5+2\cdot \sqrt{5}+1}}{4} \\ cos \ 36^o = \dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{5}+1 \right )^2}}{4}=\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}$
$cos \ 72^o \cdot cos \ 36^o =\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\cdot \dfrac{\sqrt{5}+1}{4} =\dfrac{\left(\sqrt{5} \right )^2-1^2}{16}=\dfrac{1}{4}$

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