Recorrência

por nandofab Qua 25 Fev 2015, 17:58

A sequência {an} satisfaz $a_{1} = a_{2} = 1$ e $a_{n+2} = \frac{1}{a_{n+1}} + a_{n}$ para todo n. Determine $a_{2010}$

por **jango feet** Qui 26 Fev 2015, 21:23

Gabarito?

Encontrei 1, mas recorrências é um assunto que não domino. Rolling Eyes

por nandofab Sex 27 Fev 2015, 10:31

Perdão, pois novamente esqueci de postar o gabarito. O gabarito é:
$\prod_{j=1}^{2009}(1 + \frac{1}{j+1})$

por nandofab Sex 27 Fev 2015, 10:43

Pode postar a ideia que teve ?

por **jango feet** Sex 27 Fev 2015, 21:34

Multiplique todos os lados por an+1, depois agrupe e ficará:
an+1(an+2-an)=1
Daí voce escreve todos os termos em uma só coluna soma todas as equações e no final obterá:
a2010.a2009-a1.a2=2008---->a2010.a2009=2009
Aí eu travei :pirat:

por **jango feet** Seg 02 Mar 2015, 21:50

De onde é essa questão? é que estava olhando aqui e vi que se trata de uma eq. recorrente não linear, assunto que nem de longe é cobrado no e.m, daí suspeito que seja da escola naval, portanto que seja necessário cálculo para resolver a dita cuja!

por nandofab Qua 01 Abr 2015, 00:19

Se vc continuar fazendo essa sequência, perceberá q an.an-1 = n-1... para todo n
Teremos: a2010.a2009 = 2009 => a2010 = 2009/a2009 I

a2009 . a2008 = 2008 => a2009 = 2008/a2008 II

Substitua II em I e continue fazendo a sequência..

No final, teremos:
$\frac{2009}{2008}\frac{2007}{2006}\frac{2005}{2004}...$

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