Função do 2º grau - AREF

por wbao Sáb 24 Jan 2015, 17:16

Verifique que a função quadrática definida por f(x) = (2/a)x² - (2/h)x + 1/b , onde a e b são os catetos de um triângulo retângulo de altura relativa à hipotenusa igual a h, possui pelo menos um zero.

por PedroCunha Sáb 24 Jan 2015, 17:31

Olá.

O discriminante dessa equação será:

4/h² - 8/ab

É válido que, sendo h a altura relativa à hipotenusa e c a hipotenusa: h*c = ab .:. h² = (ab)²/c²

Então:

4/[(ab)²/c²] - 8/ab = 4c²/(ab)² - 8/(ab) = [4c² - 8ab]/(ab)² = [4a² + 4b² - 8ab]/(ab)² = 4*[a² - 2ab + b²]/(ab)² = 2²*(a-b)²/(ab)² = [2*(a-b)/(ab)]²

Ou seja, o discriminante é sempre positivo e por isso a função quadrática sempre tem duas raízes reais.

Creio que faltou a informação de que o zero pedido deveria ser real.

Att.,
Pedro

por **Carlos Adir** Sáb 24 Jan 2015, 17:40

a . b = h . √(a²+b²)
f(x) = (2/a)x²-[2√(a²+b²)]/(ab)x + 1/b

Verificar que a função possui pelo menos um zero, significa dizer que há solução, isto é f(x)=0
Para ter, basta que ∆≥0:
$\\ \left(2\sqrt{a^2+b^2} \right )^2- 4 \cdot \left(\dfrac{2}{a} \right )\cdot \left(\dfrac{1}{b} \right ) = \\ 4 \left(a^2+b^2 -\dfrac{2}{ab} \right )$
De uma desigualdade, sabe-se que a²+b² >= 2ab, então:
$\\ 4 \left(a^2+b^2 -\dfrac{2}{ab} \right ) \ge 4 \left(2ab - \dfrac{2}{ab} \right )=8\left(ab-\dfrac{1}{ab} \right )$

Ou seja, se ab>=1, tem-se que a função terá pelo menos uma solução.

Foi assim que eu interpretei Pedro. Só gostaria de saber de onde vêm o discriminante(segunda vez que eu o vejo usar), isto é, onde eu poderei aprender.

por **Elcioschin** Sáb 24 Jan 2015, 17:53

Pedro

Apenas uma correção: para se ter ao menos um zero (ao menos uma raiz real) devemos ter ∆ ≥ 0.
Na fórmula de vocês, quando a = b ---> ∆ = 0

Carlos Adir

O discriminante nada mais é do que o termo entre parênteses na fórmula de Bhaskara:

ax² + bx + c = 0 ---> ∆ = b² - 4.a.c

por PedroCunha Sáb 24 Jan 2015, 18:55

Élcio, ter discriminante igual a zero não garante uma raiz real, pois pode ser que a raiz dupla seja imaginária.

Exemplo:

(x-2i)² = x² - 4i*x - 4 --> ∆ = (-4i)² - 4*1*(-4) = -16+16 = 0