Jogo de dados

por Nicole Mendes Sex 19 Dez 2014, 17:39

João e Maria vão disputar um jogo de dados em que o vencedor é aquele que primeiro conseguir obter a face 6 no lançamento de um dado não viciado. Sabe-se que eles jogarão os dados alternadamente, começando por Maria. Qual é a probabilidade de João vencer o jogo? Qual seria a resposta se João iniciasse os lançamentos?

por **Robson Jr.** Sex 19 Dez 2014, 22:12

As jogadas ocorrem nesta ordem: Maria, João, Maria, João, Maria, João... Além disso, a probabilidade de tirar seis numa jogada qualquer é de 1/6, enquanto a de não tirar é de 5/6.

Comecemos com casos menores para, então, generalizar e chegar à resposta.

Qual a probabilidade de João ganhar na sua 1ª jogada? Para que isso aconteça, devemos ter a seguinte sequência de eventos: Maria não ganha, João ganha. Portanto:

$\small P_{j,1}=\left ( \frac{5}{6} \right ).\left ( \frac{1}{6} \right )=\frac{5}{6^2}$

Qual a probabilidade de João ganhar na sua 2ª jogada? Para que isso aconteça, devemos ter a seguinte sequência de eventos: Maria naõ ganha, João não ganha, Maria não ganha, João ganha. Portanto:

$\small P_{j,2}=\left ( \frac{5}{6} \right ).\left ( \frac{5}{6} \right ).\left ( \frac{5}{6} \right ).\left ( \frac{1}{6} \right )=\frac{5^3}{6^4}$

De modo geral, para que João ganhe na sua n-ésima jogada, é necessário que, alternadamente, Maria não ganhe em n ocasiões, João não ganhe em outras n-1 ocasiões, e João vença na dita jogada. Portanto:

$\small P_{j,2}=\left ( \frac{5}{6} \right )^n.\left ( \frac{5}{6} \right )^{n-1}.\left ( \frac{1}{6} \right )=\frac{5^{2n - 1}}{6^{2n}}$

A probabilidade de João vencer o jogo será igual à soma de todas as probabilidades possíveis de vitória.

$\small P_{j}=\sum _{k=1}^{\infty }P_{j,k}=\frac{5}{6^2}+\frac{5^3}{6^4}+\frac{5^5}{6^6}+...+\frac{5^{2k-1}}{6^{2k}}+...$

Caímos numa soma de PG infinita, cujo resultado converge para o seguinte valor:

$\small P_j=\frac{\frac{5}{6^2}}{1-\frac{5^2}{6^2}}=\frac{\frac{5}{36}}{\frac{11}{36}} \Rightarrow \boxed{P_j=\frac{5}{11}}$

Caso João começasse a brincadeira, ele teria a mesma chance de vencer que a Maria:

$\small \boxed{P_m=P_j'=1-\frac{5}{11}=\frac{6}{11}}$

por Nicole Mendes Sáb 20 Dez 2014, 07:47

Nossa, genial! Obrigada.

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