Esboçando gráfico

Boa noite prezados usuários do Pir²!

Alguém pode me explicar (de maneira bem detalhada) como resolver o exercício abaixo?

Sabendo que o gráfico da função é uma hipérbole, esboçar o gráfico da função .

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Qualquer função y = k/x é uma hipérbole. O valor de k apenas muda a curvatura da hipérbole

Primeiras conclusões da função:

Para x = - 3/2 ------> y = 0
Para x = 0 -----> y = 3
Para x = -1 a função não é definida

Divida o numerador e o denominador por x:

y = (2 + 3/x)/(1 + 1/x)

Mais uma conclusão ----> Quando x tende para + oo (+ infinito) ou - oo (menos infinito) a função tende para 2

Vamos desenhar o gráfico da função:

1) Desenhe um sistema xOy
2) Desenhe pontilhada a reta y = 2
3) Desenhe pontilhada a reta x = -1
4) Desenhe os pontos (-3/2, 0) e (0, 3)

Um ramo da hipérbole aproxima-se da reta x = - 1 para cima pela direita, passa por (0,3) e aproxima-se da reta y = 2 por cima

O outro ramo da hipérbole aproxima-se da reta x = -1 para baixo pela esquerda, passa por (-3/2, 0) e aproxima-se de y = 2 por baixo

Elcio,

quando você diz que qualquer função do tipo y = k/x é uma hipérbole, k deve ser inteiro e diferente de 0?

Consegui entender perfeitamente as primeiras conclusões da função.

Não consegui acompanhar o raciocínio a partir daqui: Divida o numerador e o denominador por x

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

1) Não é preciso k ser inteiro. Para qualquer valor real de k (diferente de zero) y = k/x é uma hipérbole

2) Veja a fração 4/8 : dividindo o numerador e o denominador por 4 temos 4/8 = (4/4)/(8/4) = 1/2

Fiz o mesmo com a fração (2x + 3)/(x + 1):

Dividí o numerador por x ------> (2x + 3)/x = 2 + 3/x

Dividí o denominador por x ----> (x + 1)/x = 1 + 1/x


Veja que, quando o valor de x tende para oo (infinito) o valor de 3/x e 1/x tende para zero.
Como consequência o valor do numerador tende para 2 e o valor do denominador tende para 1.
Logo, quando x tende para + - oo, a fração g(x) tende para 2

g(x) = (2 + 3/x)/(1 + 1/x) ---> g(+ - oo) ~= 2/1 ----> g(+ - oo) ~= 2


No gráfico isto significa que, quando o valor da abcissa x tende para + oo ou - oo, o valor da ordenada g(x) tende para 2.
Isto é, o gráfico se aproxima cada vez mais da reta y = 2 quando se afasta da origem dos eixos.
Diz-se neste caso que o gráfico é assintótico à reta y = 2.

Esta técnica que eu usei a cima chama-se "levantamento de indeterminação". Ela é usada porque, se eu substituir x por + - oo diretamente na função original, teríamos

g(x) = (2x + 3)/(x + 1) ----> g(oo) = (2*oo + 3)/(oo + 1) -----> g(oo) = oo/oo ----> Indeterminado!!!!

Agora desenhe o gráfico que vc entenderá melhor

Boa tarde prezado Elcio!

Elcio, entendi que ao dividir o numerador por x, encontro 2 + 3/x . Também entendi que ao dividir o denominador por x, encontro 1 + 1/x . A dúvida é: Por que dividir por x?

Também consegui entender essa parte: Veja que, quando o valor de x tende para oo (infinito) o valor de 3/x e 1/x tende para zero.

A partir daqui (Como consequência o valor do numerador tende para 2 e o valor do denominador tende para 1), não consegui entender mais nada.

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Se vc substituir x por infinito na expressão original você obterá uma valor "indeterminado" = infinito/infinito

Eu expliquei para vc que dividir por x é uma técnica que eu usei para "desaparecer com a indeterminação":

Numerador = 2 + 3/x ----> Quando x tende para infinito 3/x tende para zero e o numerador tende para 2

Denominador = 1 + 1/x ----> idem ----> denominador tende para 1

Logo a fração (2x + 3)/(x + 1) tende para 2/1 = 2 quando x tende para infinito