Poliedro convexo.

Um poliedro convexo possui, apenas, faces triangulares,quadrangulares e pentagonais. O número de faces triangulares excede o de faces pentagonais de duas unidades. Calcular os números de faces de cada tipo, sabendo que o poliedro tem 7 vértices.

Spoiler:

Pela relação de Euler: V+F= A+2
em que 
V= número de vértices, F= número de faces e A=número de arestas
Chamemos 
f3- face triangular
f4-face quadrangular
f5- face pentagonal
em que f3= f5+2 e v=7

Substituindo na primeira equação>

5+F= A
5+ f3+f4+f5=A
5+2f5+f4=A

Agora vamos contar o número de arestas.
3.f3+ 4.f4 + 5.f5 = 2A
4f4+8f5+6= 2A

* Repare que contamos duas vezes o número de arestas, pois uma mesma aresta faz parte de duas faces (triangular-pentagonal, ou triangular-quadrangular,etc.)

Relacionando as duas equações, obtemos:
4=2f5+f4

Entretanto, f5 e f4 devem ser dois números inteiros, em que f4>f5 e
 f4>0  f5>0 e f3>0
Tendo f5=1, 
f4=2 e f3=3. 
Que satisfazem a questão.

Obrigado