Circunferência inscrita em um triângulo

por luccaspps Ter 25 Nov 2014, 15:24

Na figura abaixo, o ponto P representa os olhos de uma pessoa que vê à sua frente, sob um ângulo de medida x, um balão esférico de centro O e raio de medida R.

Circunferência inscrita em um triângulo J63721

Circunferência inscrita em um triângulo J63721

Sabendo que PB = PC = 7,2m e cos x = 3/5, a medida R, em metros, é :

por Hoshyminiag Ter 25 Nov 2014, 15:53

Trace OP, que é bissetriz do ângulo a (é bissetriz quando passa pelo centro)
sen (a/2) = R/OP
cos (a/2) = 7,2/OP
sen (a) = 2 . sen (a/2). cos (a/2) ---> sen a = 2 . R/OP . 7,2/OP ---> sen a = 14,4/OP² (I)

Como sen(a) ² + cos (a) ² = 1 :
9/25 + sen (a) ² = 1 ---> sen a = 4/5 (II)

(I) <---- (II):
4/5 = 14,4/OP² ---> 72R = 4.OP² ---> OP² = 18R

Aplicando Pitágoras no triângulo de lados OP, R e PB:
OP² = R² + 51,84 ---> 18R - R² - 51,84 = 0 ----> R = (-18 + V116,64) / -2 ---> R = (-18 + 10,8 ) / -2 ----> R = 3,6

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