Número de soluções reais do sistema

por **Ashitaka** Qui 23 Out 2014, 18:51

Número de soluções reais do sistema

é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) mais de 3

por **Elcioschin** Qui 23 Out 2014, 19:07

Apenas trabalhoso

Substitua o valor de y da 1ª equação na 2ª equação. Simplifique e calcule z = f(x)

Substitua z = f(x) na 3ª equação. Simplifique para chegar numa equação do 5º grau em x

Nesta equação x = 0 é uma solução real. Logo a solução trivial x = y = z = 0 atende.

Divida por x para chegar numa equação do 4º grau

Calcule as raízes reais desta equação do 4º grau

por Luck Qui 23 Out 2014, 21:39

edit. É fácil ver que x=y=z=0 é uma solução. Para x,y,z # 0 , a ideia é escrever a equação da seguinte forma:
(4x²)/(4x²+1) = y
(4x²+1)/(4x²) = (1/y)
1 + (1/(4x²)) = (1/y)
analogamente:
1 + (1/(4y²)) = (1/z)
1 + (1/(4z²)) = (1/x)
somando as três eq. temos:
1+1+1 + (1/(2x))² + (1/(2y))² + (1/(2z))² = (1/x) + (1/y) + (1/z)
[(1/(2x))² - 2(1/(2x))+1] + [ (1/(2y))² -2(1/(2y)) + 1] + [(1/(2z))² - 2(1/(2z) + 1] = 0
((1/(2x)) - 1)² + ((1/(2y))-1)² + ((1/(2z)) - 1)² = 0
como lado esquerdo é sempre não negativo, (1/(2x)) - 1 = (1/(2y)) - 1 = (1/(2z)) - 1 = 0
x = y = z = (1/2)
letra c)

por **Ashitaka** Sex 24 Out 2014, 12:14

Elcioschin, a minha intenção era justamente obter uma solução que não fosse tão trabalhosa :p essa questão é de uma prova, então também há a intenção de fazer em pouco tempo...
Obrigado, Luck!

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