(XXII OBM) Menor Inteiro Positivo

por Hoshyminiag Dom 19 Out 2014, 01:43

Determine a soma dos algarismos do menor inteiro positivo que é o dobro de um cubo e o quíntuplo de um quadrado

a) 2
b) 5
c) 6
d) 8
e) 12

Gabarito: A

por PedroCunha Dom 19 Out 2014, 03:51

Olá.

\\ k = 2^{a_2} \cdot 3^{a_3} \cdot 5^{a_5} \dots n^{a_n} , com n primo.

Se temos o dobro de um cubo perfeito, \\ a_3,a_5, \dots a_n \in \{0,3,6,9, \dots 3k\}, k \in \mathbb{N} e \\ a_2 \equiv 2 \mod(3), a_2 \neq 1 .

Se temos o quíntuplo de um quadrado perfeito, \\ a_2,a_3, \dots a_n \in \{0,2,4,6,\dots 2k\}, k \in \mathbb{N} e \\ a_5 \in \{3,5, \dots 2k+1\} .

Assim, o menor valor ocorre para \\ a_2 = 4, a_5 = 3, a_3 = a_7 = a_{11} = \dots a_n = 0 \Leftrightarrow k = 2^4 \cdot 5^3 = 2000 , cuja soma dos algarismos vale \\ 2 .

Abraços,
Pedro

¹O expoente 1 não serve para a_2 e a_5 pois se o utilizarmos, precisaremos de outros expoentes também pois 2^1 \cdot 5^1 = 10 que não satisfaz a condição do enunciado.
²Solução retirada daqui .

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