Limite

por **Jader** Seg 08 Set 2014, 21:28

Provar por epsilon e delta que $\lim_{x\rightarrow -3}x^{2}=9$

por Man Utd Seg 08 Set 2014, 22:03

Usando a definição formal de limites: $\\\\\\ 0<|x-c|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |f(x)-L|<\epsilon$

$\\\\\\ 0<|x+3|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |x^2-9|<\epsilon \\\\\\ 0<|x+3|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |x+3|\cdot|x-3|<\epsilon$

O único de jeito de conseguir um delta é majorando $\\\\\\ |x-3|$ por uma constante, então para isso vamos delimitar o delta por 1 ( poderia ser 2,1/2,1/4 .... já que a definição pede um delta , e não é necessariamente único).

$\\\\\\ |x+3|<1 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; -1<x+3<1 \;\;\; \Rightarrow \;\;\; -4<x<-2$

Então observe que a função $\\\\\\ |x-3|$ no intervalo $\\\\\\ -4<x<-2$ é majorado e minorado por : $\\\\\\ 5<|x-3|<7$ , logo podemos fazer:

$\\\\\\ 0<|x+3|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |x+3|\cdot|x-3|<\epsilon \\\\\\ 0<|x+3|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |x+3|\cdot|x-3|<7|x+3|<\epsilon \\\\\\ 0<|x+3|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; 7|x+3|<\epsilon \\\\\\ 0<|x-3|<\delta \;\;\;\;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\;\; |x+3|<\frac{\epsilon}{7}$

Agora tome : $\\\\\\ \delta =\frac{\epsilon}{7}$ , veja que temos dois valores para delta, desejamos o menor deles para temos a certeza que satisfaz a definição.Logo $\\\\\\ \delta_{min} =\left\{1,\frac{\epsilon}{7} \right\}$ .

Provando que essa escolha de delta realmente funciona :

$\\\\\\ |x^2-9|=|x+3|\cdot|x-3|<7|x+3|=7\left( \frac{\epsilon}{7} \right ) =\epsilon$

C.Q.D

Limite

Limite

Re: Limite

Um fórum livre e democrático.