International Mathematical Olympiad(IMO)

por medock Ter 12 Ago 2014, 04:10

Considere o triângulo P₁P₂P₃ e um ponto P no interior do triângulo. As retas P₁P, P₂P, P₃P, intersectam os lados opostos nos pontos Q₁, Q₂, Q₃, respectivamente. Prove que dos números $International Mathematical Olympiad(IMO) Gif$ , $International Mathematical Olympiad(IMO) Gif$ , $International Mathematical Olympiad(IMO) Gif$ , ao menos um é menor ou igual a 2 e ao menos um é maior ou igual a 2.

por medock Qui 14 Ago 2014, 14:08

Tentei resolver e parei na seguinte afirmação (caso isso ajude a resolver a questão):

Seja P1P2P3 o triângulo abaixo:

International Mathematical Olympiad(IMO) Sgmuc2

International Mathematical Olympiad(IMO) Sgmuc2

Logo podemos afirmar que:

- $S = K_A+K_B+K_C$

- $\frac{P_1P}{PQ_1} = \frac{K_A+K_B}{K_C} ; \frac{P_2P}{PQ_2}=\frac{K_C+K_A}{K_B}; \frac{P_3P}{PQ_3}=\frac{K_B+K_C}{K_A}$

Somando-se 1 a todas as frações, invertendo-as e somando elas entre si, iremos obter:

$\frac{PQ_1}{P_1Q_1}+\frac{PQ_2}{P_2Q_2}+\frac{PQ_3}{P_3Q_3} = \frac{K_A+K_B+K_C}{S} = 1$

A partir daí não sei o que fazer.

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