Equação Trigonométrica de Rachar à Cuca

Felipemqs escreveu:Resolva a equação trigonométrica

tg(2x)+cotgx = 8cos²x  

S={xeR/x=(∏/2)+k∏ ou x=(5∏/24)+(k∏/2) ou x= (∏/24)+(k∏/2) ,kez}

tranformando tudo em tg (x) eu caio nessa equação :(tgx)^4+8(tgx)^3+2(tgx)^2-8tgx+1 = 0
o que está me deixando muito confuso é o gabarito, como que x=(∏/2)+k∏ é uma das soluções se a condição de existência de tg(x) é justamente x≠ (∏/2)+k∏. E realmente x=(∏/2)+k∏ é solução pois testando na equação original a igualdade é comprovada.

Eu tenho uma explicação, mas gostaria de saber a de vocês também .
Valeu.

Elcioschin escreveu:Quando você, por exemplo, eleva uma equação ao quadrado, você introduz raízes que NÃO atendem à equação original, ou raízes absurdas. Deve-se, sempre, testar as raízes na equação original, para ver quais delas atendem.

No seu caso, ao substituir, tg2x por 2.tgx/(1 - tg²x) você modificou perigosamente a equação original, chegando neste impasse a que você chegou.

Além disso, a função tgx não é definida para x = (2k + 1).pi/2

Logo, sua escolha de trabalhar com tgx foi uma infeliz escolha: tente trabalhar com senx e cosx que são funções contínuas e existem para qualquer valor de x

Elcioschin escreveu:tg(2x) = 2.tgx/[1 - tg²x] = 2.(1/cotgx)/[1 - 1/cotg²x) = 2.cotgx/(cotg²x - 1)

cotg²x = cos²x/sen²x ---> cotg²x = cos²x/(1 - cos²x) ---> cotg²x - cotg²x.cos²x = cos²x --->

cotg²x = (1 + cotg²x).cos²x ---> cos²x = cotg²x/(cotg²x + 1)

Confira, faça cotgx = y (p/ facilitar), substitua e simplifique. Você chegará na equação: y.(ax^4 + bx² + cx) = 0

1ª raiz ---> y = 0 ---_> cotgx = 0 ----> x = pi/2 ou x = 3pi/2 (1ª volta) ----> x = kpi + pi/2

As outras 4 raízes você obtém da equação biquadrada (entre parênteses)