Exponencial

Boa tarde a todos.

Gostaria de saber como resolver a questão abaixo. Por gentileza, deixe os calculos bem detalhados.

Quais os valores que m deve assumir para que a equação abaixo apresente pelo menos uma raiz real e positiva.



O gabarito é:



Certo de sua atenção

Pietro di bernadone

[img][/img][img][img][URL=https://2img.net/r/ihimizer/i/pietro57002.jpg/][/img]

4^x - (m - 2)*(2^x) + (2m + 1) = 0

(2²)^x - (m - 2)*(2^x) + (2m + 1) = 0

(2^x)² - (m - 2)*(2^x) + (2m + 1) = 0 ----> Equação do 2º grau na variável 2^x

Para qualquer valor real de x ----> 2^x > 0

Delta = b² - 4ac ----> D = (m - 2)² - 4*1*(2m + 1) ---> D = m² - 12m

2^x = [- b + - V(D)]/2 ----> 2^x = [(m + 2) + - V(m² - 12 m)]/2

Como 2^x > 0 ---> (m - 2) + - V(m² - 12m) > 0 ---> + - V(m² - 12m) < (m - 2) --->

m² - 12m > (m - 2)² ---> m² - 12m > m² - 4m + 4 ----> 8m < - 4 ---> m < - 1/2

Além disso, para se ter pelo menos uma raiz real ----> D >= 0 ----> m² - m >= 0 ---->

m*(m - 12) >= 0 ----> m =< 0 ou m >= 12

Juntando as duas restrições tem-se: m < - 1/2 e m >= 12