Polinômios - Divisão

por matheusenra Qui 19 Jun 2014, 13:59

Um polinômio P(x) dividido por x + 2 e x² + 4 dá restos 0 e x + 1, respectivamente. Qual é o resto da divisão de P(x) por
(x + 2)(x² + 4) ?

GABARITO:

por PedroCunha Qui 19 Jun 2014, 15:02

Olá.

P(x) = q(x)*(x+2)*(x²+4) + R(x), R(x) do segundo grau

Sabemos que: x+2 = 0 .:. x = -2, x²+4 = 0 .:. x = +-2i. Então, do enunciado: p(-2) = 0, p(2i) = p(-2i) = x+1. Assim:

P(-2) = q(-2)*(-2+2)*(4+4) + 4a - 2b + c .:. 4a-2b+c = 0 (i)
P(2i) = q(2i)*(2i+2)*(-4+4) + -4a + 2ib + c .:. -4a+2ib+c = 2i+1 (ii)
P(-2i) = q(-2i)*(-2i+2)*(-4+4) + -4a -2ib + c .:. -4a - 2ib + c = -2i + 1 (iii)

ii - iii: b*(4i) = 4i .:. b = 1

4a-2+c = 0 .:. 4a+c = 2
-4a +2i+c = 2i+1 .;. -4a+c = 1
--> 2c = 3 .:. c = 3/2

4a+c = 2 .:. 4a = 1/2 .:. a = 1/8

Assim, R(x) = x²/8 + x + 3/2

Att.,
Pedro

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