Fatoração de polinômios

por crubick Ter 10 Jun 2014, 18:22

Eu gostaria de saber como fatoro esse polinômio x^4+7x^2-144
Vi na internet a galera transformando ele nessa forma (x^2 + 16)(x^2 - 9) , mas não sei como chego nisso facilmente, desconheço esse produto notável.

por Zéh Ter 10 Jun 2014, 19:09

Para isso você tem que conhecer a forma fatorada da equação biquadrada:

(x – x').( x – x'').( x – x'''). ( x –x'''') =0

Quando você encontrar as raízes de x^4 + 7x^2 - 144 igualando x² = y verá que y' = 9 e y'' = -16, então x' = +- 3 e x'' = $\sqrt{-16}$ . Já deu pra notar que essa equação utiliza conceitos do conjunto dos complexos. A partir daí não é mais comigo, kk'.

Olha só, se eu tenho uma equação biquadrada com as 4 raízes reais posso utilizar aquela forma lá de cima. Então, se as raízes de minha equação biquadrada são 3, -3, 2, -2 ficaria assim.

(x – x').( x – x'').( x – x'''). ( x –x'''') =0
(x – 3).( x + 3).( x – 2). ( x + 2) =0
(x² - 9).(x² - 4) = 0

por professormarcelogomes Ter 10 Jun 2014, 19:10

x^4 + 7x^2 - 144

Chame x^2 = y e substitua polinômio acima

y² + 7y - 144

Pense em dois números cujo produto seja -144 e a soma -7 (aqui o sinal tem ser oposto ao do polinômio, que é 7)

-12*12 = -144 mas -12 + 12 não dá 7, por exemplo.
9*-16 = -144 e 9 + (-16) = -7

Daí encontrar 9 e -16

O que eu fiz foi transformar um polinômio de grau 4 em grau 2 e encontrar suas raízes.

Esse polinômio pode ser escrito como um produto, assim:

(y - 9).(y - (-16)) = (y - 9).(y + 16)

Lembrando que y = x², devemos substituí-lo:

(x² - 9).(x² + 16)

Esse seria um caminho para chegar à resposta.