Integral por substituição trigonométrica

por JeffersonPe Qua 04 Jun 2014, 17:48

Olá, poderiam dar alguma dica de como resolver esta integral:

∫ x³ dx/(49 - x²)²

Tentei substituição trigonométrica, mas me perco nomeio do processo.

Desde já, obrigado.

Jefferson

por Man Utd Qua 04 Jun 2014, 19:34

Olá

$\\\\\\ \int \; \frac{x^3}{\left(49-x^2 \right )^2} \; dx \\\\\\ \int \; \frac{x^3}{\left(49\left( 1-\frac{x^2}{49} \right) \right )^2} \; dx \\\\\\ \frac{1}{49^2} \times \int \; \frac{x^3}{\left( 1-\frac{x^2}{49} \right )^2} \; dx$

$\\\\\\ \frac{1}{49^2} \times \int \; \frac{x^3}{\left( 1-\left( \frac{x}{7} \right)^2 \right )^2} \; dx$

agora faça a substituição trigonométrica : $\\\\\\ senu=\frac{x}{7} \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\;\; dx=7*cosu \; du$ , ficando com :

$\\\\\\ \frac{1}{49^2} \times \int \; \frac{7^4*sen^{3}u*cosu}{\left( 1-sen^2u \right )^2} \; du \\\\\\ \int \; \frac{sen^{3}u*cosu}{cos^{4}u} \; du \\\\\\ \int \; \frac{sen^{3}u}{cos^{3}u} \; du$

consegue terminar??????

por JeffersonPe Qua 04 Jun 2014, 23:12

Oi, obrigado Man Utd.
O próximo passo seria integrar tg³ u du?

Obrigado

por Man Utd Qua 04 Jun 2014, 23:32

JeffersonPe escreveu:Oi, obrigado Man Utd.
O próximo passo seria integrar tg³ u du?

Obrigado

Poderia integrar tg³u ,mas há uma outra maneira que particulamente acho mais fácil :

$\\\\\\ \int \; \frac{ sen^{3}u}{cos^{3}u} \; du \\\\\\ \int \; \frac{ sen^{2}u*senu}{cos^{3}u} \; du \\\\\\ \int \; \frac{ (1-cos^{2}u)*senu}{cos^{3}u} \; du$

agora faça a substituição : $\\\\\\ z=cosu \;\;\; \Leftrightarrow \;\;\; dz=-senu \; du$ , ficando com :

$\\\\\\ -\int \; \frac{1-z^2}{z^3} \; dz \\\\\\ -\int \; \frac{1}{z^3}-\frac{z^2}{z^3} \; dz \\\\\\ -\int \; \frac{1}{z^3}-\frac{1}{z} \; dz$

quando terminar de integrar essa expressão terá que voltar a variavél "u" e depois para a variavél "x" que é a incognita inicial.Tente concluir se não conseguir retorne. Very Happy

por JeffersonPe Qui 05 Jun 2014, 13:47

Ficaria 1/2(cos²u) + ln|cosu| + C

Utilizando a relação cos²u=sen²u - 1, teríamos que cos u = (sqrt(49-x²))/7.

Então, o resultado final seria 1/(2/49)(49 -x²) + ln|sqrt(49-x²)/7| + C ?

Está certo? Não tenho o gabarito para conferir.

Obrigado

por Man Utd Qui 05 Jun 2014, 16:22

JeffersonPe escreveu:Ficaria 1/2(cos²u) + ln|cosu| + C

Utilizando a relação cos²u=sen²u - 1, teríamos que cos u = (sqrt(49-x²))/7.

Então, o resultado final seria 1/(2/49)(49 -x²) + ln|sqrt(49-x²)/7| + C ?

Está certo? Não tenho o gabarito para conferir.

Obrigado

Olá perceba que a relação corrreta é : $cos^{2}x+sen^{2}x=1$

Pode sempre conferir a resposta no wolfram : https://www.wolframalpha.com/input/?i=int+x%5E3%2F%2849-x%5E2%29%5E2+dx

Continuando:

$\\\\\\ -\left( \int \; \frac{1}{z^3} \; dz -\int \; \frac{1}{z} \; dz\right ) \\\\\\ -\left( -\frac{1}{2z^2} -\ln|z| \right )+C \\\\\\ \frac{1}{2z^2} +\ln|z|+C$

$\\\\\\ \frac{1}{2cos^2u} +\ln|cosu|+C \\\\\\ \frac{1}{2\left(1-\frac{x^2}{49} \right)} +\ln \left|\sqrt{1-\frac{x^2}{49}} \right|+C \\\\\\ \frac{49}{2\left(49-x^2 \right)} +\frac{1}{2}\ln \left|1-\frac{x^2}{49} \right|+C \\\\\\ \frac{1}{2} \left( -\frac{49}{x^2-49 } +\ln \left|-\frac{1}{49} \left( x^2-49 \right) \right| \right )+C$

$\\\\\\ \frac{1}{2} \left( -\frac{49}{x^2-49 } +\ln \left|-\frac{1}{49} \right|+\ln \left|x^2-49 \right| \right)+C \\\\\\ \frac{1}{2} \left( -\frac{49}{x^2-49 }+\ln \left|x^2-49 \right| \right)+C$

que é a resposta do wolfram.