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(ITA-1994) Seja (a,b,c,d,e) uma progressão geométrica de razão a, com a>0 e a diferente de 1. Se a soma de seus termos é igual a 13a+12 e x é um número real positivo diferente de 1 tal que 

,então, x é igual a:

a) 27
b) (2,5)²
c) (0,4)²
d) 8
e) (2,5)^1,5

Resposta:

Olá.

b = a², c = a³, d = a^4, e = a^5  --> a+a²+a³+a^4+a^5 = 13a+12 .:. a^5+a^4+a³+a²-12a-12=0

-1 é solução. Abaixando o grau por Briot-Ruffini:

-1 | 1 1 1 1 -12 -12
      1 0 1 0 -12 0 --> a^4 + a² - 12= 0 --> a² = k: k²+k-12 = 0 --> k = (-1+-7)/2 .:. k = 3 ou k  = -4

Como a é real, k = 3 --> a² = 3 .:. a > 0, a = √3. Então, a progressão é:

√3, 3, 3√3, 9, 9√3 = 3^{1/2}, 3, 3^{3/2}, 3², 3^{5/2}

Colocando isso na expressão dada:

1/[log[3^{1/2} x] + 1/[log[3]x] + 1/[log[3^{3/2}] x] + 1/[log[3²] x] + 1/[log[3^{5/2}] x] = 5/2.:.

1/2 * 1/[log[3]x] + 1/[log[3]x] + (3/2)*1/[log[3] x] + 2*1/[log[3]x] + (5/2)*1/[log[3]x] = 5/2 .:.  (15/2)*1/[log[3]x] = 5/2 .:. log[3]x = 3 .:. 3³ = x .:. x = 27

Questão legal.

Att.,
Pedro

Obrigado. Não tinha percebido que -1 era raiz

PedroCunha escreveu:Como a é real, k = 3 --> a² = 3 .:. a > 0, a = √3.

Quaase consegui resolver, mas esqueci que k =  a²..
mas chutaria certo já que cheguei em 3^6.. =B

diego_barreto escreveu:Obrigado. Não tinha percebido que -1 era raiz

Eu tinha esse mesmo problema, mas depois sempre que vejo um polinômio eu passei a testar uns valores que considero notáveis (1;0;-1), ja que várias questões exigem esse conhecimento..