Integral dupla

por **Jader** Qua 28 maio 2014, 13:01

Calcular a integral dupla $\iint_{S}\sqrt{x^{2}-y^{2}}dxdy$ , onde S é um triângulo com vértices nos pontos O(0,0), A(1,-1) e B(1,1).

por Man Utd Qua 28 maio 2014, 15:23

Olá

Veja o esboço :

Integral dupla 5b2nv9

$\\\\\\ \int_{0}^{1} \; \int_{-x}^{x} \; \sqrt{x^2-y^2} \; dydx \\\\\\ \int_{0}^{1} \; \int_{-x}^{x} \; \sqrt{(x-y)*(x+y)} \; dydx$

agora tens que fazer uma mundança de variavéis : $\\\\ u=x-y \\v=x+y$ , então: $\\\\\\ x=\frac{u+v}{2} \\\\ y=\frac{v-u}{2}$ e o jacobiando é $\\\\\\ J=\frac{1}{2}$

agora tens que transformar as funções : $\\\\\\ x=0 \; , \; x=1\; , \; y=-x \; ,\; y=x$ , que ficam : $\\\\\\ v=-u \; , \; v=2-u \; ,\; u=0 \;,\; v=0$

então a região a ser integrada agora é :

Integral dupla 13zxwnt

então se integrarmos em relação a ordem em relação a "y" :

$\\\\\\ \int_{0}^{2} \; \int_{0}^{2-u} \; \frac{\sqrt{uv}}{2} \; dvdu$

Agora é só integrar.aqui tem uma questão parecida .

por **Jader** Qua 28 maio 2014, 15:39

Vlw novamente Man.

Mais tem possibilidade de se fazer usando substituição trigonométrica ou não é viável nesses casos?

por Man Utd Qua 28 maio 2014, 15:54

Jader escreveu:Vlw novamente Man.

Mais tem possibilidade de se fazer usando substituição trigonométrica ou não é viável nesses casos?

Até que dá, usando a substituição $\\\\\\ senu=\frac{y}{x} \;\; \; \Leftrightarrow \;\;\; dy=x*cosu \; du$ , mas esse exercício parece querer que o aluno faça justamente uma mundança de variavéis utilizando o jacobiano.

por **Jader** Qui 29 maio 2014, 15:23

Man, no caso essa integral após a mudança teria que ser multiplicada por 1/2, já que quando se muda a variável tem que multiplicar o módulo do jacobiano na nova integral?

por Man Utd Qui 29 maio 2014, 15:50

Jader escreveu:Man, no caso essa integral após a mudança teria que ser multiplicada por 1/2, já que quando se muda a variável tem que multiplicar o módulo do jacobiano na nova integral?

Sim vc está correto, Editei minha mensagem.