Equação da Recta

por Fernandez_M Sex 11 Jun 2010, 15:10

Oi galera,

ajudem aqui por favor, pois nao sei por onde começar neste exercício,

f(x)= x^2 se x<2
4 se x=2
16/(x^2) se x>2

1- Escreva uma equação da recta tangente ao gráfico de f que é paralela à recta de equação: y=(1/4)x + 1

Já agora, tambem gostaria de saber se, em vez de paralela, se a recta pedida fosse perpendicular à da equação, qual seria a diferença. pale

Obrigado
vlw

por **Elcioschin** Sex 11 Jun 2010, 17:58

Primeiro desenhe a função:

Para x < 2 o gráfico é um arco de parábola
Para x = 2 a parábola tem ordenada 4 (que é o valor da função para x = 2)
Para x > 2 o gráfico é uma curva decrescente e assintótica com o eixo X

Reta y = (1/4)*x + 1 ----> coeficiente angular m = 1/4

Desenhe esta reta, que passa pelos pontos (0, 1) e (4, 2)

Equação da reta paralela à reta anterior ----> y = (1/4)*x + k

Facilmente se verifica, pelo desenho que esta reta só pode ser tangente ao gráfico no ramo parabólico da função (x < 2).

Igualando temos ----> x² = (1/4)*x + k -----> 4x² - x - 4*k = 0

Para a reta ser tangente à parábola o discriminante da equação deve ser nulo:

D = b² - 4ac ----> D = (-1)² - 4*4*(-4*k) ----> 1 + 64*k = 0 ---> k = - 1/64

Equação pedida ----> y = (1/4)*x - 1/64

Se a reta fosse perpendicular ela teria um coeficiente angular m' = - 1/m ---> m' = - 4

por **Euclides** Sex 11 Jun 2010, 18:57

precisaremos de um esbôço do gráfico para localizar a tangente, que no caso será uma tangente à parábola. O ponto de tangência será

$\\f(x)=x^2\to f'(x)=2x\to f'(x)=\frac{1}{4}\to x=\frac{1}{8}\\\\f\left (\frac{1}{8} \right )=\left (\frac{1}{8} \right )^2=\frac{1}{64}\Rightarrow {\color{red} P\left ( \frac{1}{8},\,\frac{1}{64} \right )}$

a reta tangente tem equação na forma $y=\frac{x}{4}+b$

substituindo os valores conhecidos das coordenadas de P

$\\\frac{1}{64}=\frac{1}{32}+b\to b=-\frac{1}{64}\\\\ {\color{red} y=\frac{x}{4}-\frac{1}{64}}$

Caso de perpendicularidade:

equação da perpendicular: $y=-4x+b$ a tangência se dará no ramo da hipérbole

$\\f(x)=\frac{16}{x^2}\to f'(x)=\frac{-32}{x^3}\to f'(x)=-4\to x=2\\\\f(2)=4\to {\color{red} P\left ( 8,\,4 \right )}\\\\y=-4x+b\to 4=-8+b\to b=12\\\\ {\color{red} y=-4x+12}$

Equação da Recta Trik

por **Elcioschin** Sex 11 Jun 2010, 19:21

Euclides

Ao calcular b houve um erro de conta ----> b = - 1/64

No caso do perpendicularismo existem duas soluções:

a) a tangente à hipérbole mostrada por você no desenho
b) uma tangente à parábola (no ramo esquerdo da mesma)