Fatore x^5+x+1

por **Ashitaka** Qua 14 maio 2014, 19:57

R:(x²+x+1)(x³-x²+1)

por raymg3c Qua 14 maio 2014, 20:05

Soma a multiplicação de x² pelos três membros do segundo parentese, depois o x e depois o 1

por **Ashitaka** Qua 14 maio 2014, 20:07

raymg3c, eu gostaria de partir do x^5 + x + 1 e chegar na resposta. Não entendi o que você quis dizer.

por **Elcioschin** Qua 14 maio 2014, 20:08

Só existem duas possibilidades

(x² + a.x + b).(x³ + c.x² + d.x + 1)

(x + e).(x^4 + f.x³ + g.x² + h.x + 1)

Desenvolva ambas, iguale com x^5 + x + 1, calcule os coeficientes e veja qual delas atende

por Luck Qua 14 maio 2014, 20:12

Mesma ideia da questão abaixo, aplique o lema:
https://pir2.forumeiros.com/t68945-fatoracao

por **Ashitaka** Qua 14 maio 2014, 20:28

Obrigado a todos! O jeito mais fácil foi usando o lema que o Luck mostrou, que não conhecia e achei interessante. Obrigado Smile

por Man Utd Qua 14 maio 2014, 21:53

Este lema parece que decorre da teoria de congruências.

Veja :

$\\\\ x^3 -1 \; \equiv \; 0 \mod(x^3-1) \;\;\; \Rightarrow \;\;\; x^3 \; \equiv \; 1 \; \mod(x^3-1)$

então $\\\\ x^5+x+1 \equiv x^2+x+1 \equiv 0 \mod(x^3-1)$

como $\\\\ x^2+x+1$ é fator comum de , $\\\\ x^3-1$ então $\\\\ x^2+x+1$ tbm é fator comum ao polinomio $\\\\ x^5+x+1$ , logo bastar fazer a divisão de $\\\\ x^5+x+1$ por $\\\\ x^2+x+1$ , o divisor e o quociente já e a forma fatorada :

$\\\\ x^5+x+1=(x^2+x+1)*(x^3-x^2+1)$

por **Ashitaka** Qui 15 maio 2014, 17:31

Man Utd, mas é difícil perceber de cara que é divisível por x²+x+1... você diz isso já levando em consideração aplicado o lema?
(Interessante assinatura, btw xP)

por Man Utd Qui 15 maio 2014, 21:44

Não usei o lema,deixa ver se eu explico de outra forma melhor :

perceba que :

$\\\\\\ x^3-1 \equiv 0 \mod(x^2+x+1 ) \\\\\\ x^3 \equiv 1 \mod(x^2+x+1 )$

então :

$\\\\\\ x^5+x+1 \equiv x^2+x+1 \mod(x^2+x+1)$

mas sabemos que : $\\\\\\ x^2+x+1 \equiv 0 \mod(x^2+x+1)$ , segue que : $\\\\\\ x^5+x+1 \equiv 0 \mod(x^2+x+1)$

aqui fica provado que $\\\\\\ x^2+x+1$ é fator comum de $\\\\\\ x^5+x+1$ , restando apenas fazer a divisão, para obter a forma fatorada.

por **Ashitaka** Qui 15 maio 2014, 22:13

Só me diz uma coisa, como você percebeu tão rapidamente que:
$Fatore x^5+x+1 Gif$ ??? Ou seja, como percebeu tão rapidamente que x^5 + x + 1 é múltiplo de de x²+x+1?
(Desculpa se isso estiver óbvio, é que eu nunca estudei congruências a fundo, nem álgebra, pra ser sincero).