Cálculo da Soma da série

por marcoscastro87 Sex 04 Jun 2010, 12:32

Olá pessoal, a questão pede para calcular a soma da série:

eu fiz o seguinte, fui atribuindo os valores de n para n>=0 como diz a questão para ver em que série resultaria e resultou no seguinte:

2 + 2/3 + 2/9 + 2/27 + ... que é a mesma coisa de 2(1 + 1/3 + 1/9 + 1/27 + .... ), então quer dizer que isso é uma série geométrica e eu calculei a soma utilizando a fórmula da soma dos termos de uma PG infinita: S=an/(1-q), ficaria 1/(1-1/3) que dá 3/2 multiplicado pelo 2 que coloquei em evidência dá 3. Essa é uma resolução correta? Não precisa usar por exemplo Cauchy ?

por **Euclides** Sex 04 Jun 2010, 16:12

Primeiro, simpificaremos a expressão:

$\sum _{n\geq0}2\left (\frac{1}{3} \right )^n=2\sum _{n\geq0}\left (\frac{1}{3} \right )^n=2\sum _{n\geq0}\left \frac{1}{3^n}$

Fica claro que a soma é o dôbro da soma da PG cuja razão é menor que 1, portanto:

$PG=1,\,\frac{1}{3},\,\frac{1}{9}....,\frac{1}{3^{n-1}}\hspace{20}a_1=1\hspace{20}q=\frac{1}{3}$

Os critérios de d'Alember, Cauchy e o teste da Integral não calculam a soma da série, mas apenas investigam se ela é convergente ou divergente. A fórmula de soma de PG que usamos serve apenas para a soma de uma PG convergente, portanto, rigorosamente, para a usarmos deveríamos provar que a PG é convergente, o que poderíamos fazer usando um daqueles critérios previamente.

$\\2\sum_{n\geq0} =\frac{1}{3^n}\Rightarrow \sqrt[n]{\frac{1}{3^n}}=\frac{1}{3}\\\\0<\sqrt[n]{\frac{1}{3^n}}<1\Rightarrow {\color{red} 2\sum_{n\geq0} =\frac{1}{3^n} \acute{e}\,\,convergente}$

Então se aplica a fórmula da soma da PG convergente

$\sum =2\left ( \frac{a_1}{1-q} \right )\Rightarrow \sum =2\left ( \frac{1}{1-\frac{1}{3}} \right )\Rightarrow \sum =3$