Divisões Algebricas

Calcule o resto de { P(x) ÷ x²+x+1 } se ao dividir P(x) por (x³-1) obtem-se resto (x²+3x+2)

a resposta é (2x+1)

Olá, Luiz.

Notemos que x³-1 = (x-1)*(x²+x+1).

Pelo Método de Descartes:

P(x) = q(x) * (x-1)*(x²+x+1) + x²+3x+2

Vamos calcular as raízes de x²+x+1:

x = (-1 +- √3*i)/2

P[(-1 + √3i)/2] = [(-1+√3i)/2]² +3*(-1+√3i)/2 + 2 = i*√3
P[(-1 - √3i)/2] = [(-1-√3i)/2]² + 3*(-1-√3i)/2 + 2 = -i√3

Queremos saber o resto da divisão de P(x)/ x²+x+1. Reescrevendo:

P(x) = q'(x) * (x²+x+1) + ax+b

Fazendo x = (-1+√3i)/2 e x = (-1-√3i)/2, respectivamente,temos:

a*(-1+√3i)/2 + b = i√3 (i)
a*(-1-√3i)/2 + b = -i√3

ii - i:

a* (-1-√3i + 1 - √3i)/2 = -2i√3 .:.
a* (-i√3) = -2i√3 .:. a = 2 --> b = 1

R(x) = 2x+1

Com certeza existe um jeito mais fácil.

Mas tá aí uma solução, haha

Abraços,
Pedro

Voce conhece algum material sobre complexos? Nunca estudei esse assunto. Mesmo assim, Valeu!

Qualquer lugar na internet tem. Basicamente: i = √(-1)