Polinômios Raíz dupla

Resolva a equação x³ + 7x² + 6x + 12 = 0, sabendo que admite uma raiz dupla

Gabarito:

Olá, spawftw.

Poderia conferir a equação? Creio que ela esteja errada.

Basta testar as respostas para ver:

p(-2) = -8 + 28 - 12 + 12 .:. p(-2) = 20
p(-3) = -27 + 63 -18 + 12 .:. p(-3) = 30

Logo, -2 e -3 não são raízes.

Abraços,
Pedro

Olá Pedro, a equação é essa mesmo.

esqueci de testar, tentei uma única vez. Não consegui, postei e fui jantar!

mas pelo jeito há erro na equação.
Obrigado

Bom, pelas raízes, podemos montar a equação:

Ou ela é:

(x+3)² * (x+2)

ou 

(x+3) * (x+2)²

Para o primeiro caso:

(x² + 6x + 9) * (x+2) .:. x³ + 2x² + 6x² + 12x + 9x + 18 .:. x³ + 8x² + 21x + 18 = 0

Para o segundo caso:

(x+3) * (x² + 4x + 4) .:. x³ + 4x² + 4x + 3x² + 12x + 12 .:. x³ + 7x² + 16x + 12 = 0

O segundo caso é o certo. Veja que faltou apenas o 1 do 16 no enunciado.

Bom, vou resolver de duas maneiras.

1ª:

Seja r a raiz dupla de p(x) = x³ + 7x² + 16x + 12. Se r é raiz dupla de p(x), r é raiz de multiplicidade 1 de p'(x). Vamos encontrar p'(x) (derivada de p(x) ):

p'(x) = 3x + 14x² + 16

Os possíveis valores de r são:

r = (-14 + 2)/6 .:. r = -2 ou r = -8/3

Testando os possíveis valores de r:

p(-2) = -8 + 28 - 32 + 12  = 0 (OK)
p(-8/3) = -512/27 + 448/9 - 128/3 + 12 .:. (-512 + 1344 - 1152 + 324)/27 .:. 4/27 ( X )

Agora, por Briot-Ruffini:

-2 | 1 7 16 12
-2 | 1 5   6   0
       1 3   0 --> x + 3 = 0 .:. x = -3, S{-2,-2,-3}

2ª:

Seja r a raiz dupla e s a raiz de multiplicidade 1. Por Girard:

r + r + s = -7 .:. 2r + s = -7 .:. s = -7 - 2r 
r*r*s = -12 .:. r² * (-7-2r) = -12 .:. -7r² - 2r³ = - 12 .:. 2r³ + 7r² - 12 = 0 

Por inspeção, vemos que p(-2) = 0 --> -16 + 28 - 12 = 0

Por Briot-Ruffini:

-2 | 2  7  0  -12
      2  3  -6   0
2r² + 3r - 6 = 0
r = (-3 +- √57 )/4

Testando em p(x), vemos que nem p( (-3 + √57)/4 ) nem p( (-3-√57)/4) são iguais à zero e portanto esses valores não são raízes de p(x). Concluímos então que r = -2.

Encontrando s:

s = -7 - 2r .:. s = -7 - (-4) .:. s = -3

Logo: S{-2,-2,-3}

É isso. Qualquer dúvida é só falar.

Abraços,
Pedro

Valeu Pedro,
gostei do seu exemplo, antes de ver a resposta tentarei fazer.

qlqr dúvida te comunico.

abraços!!