Divisão Polinômios

O polinômio p(x) = 2x^(4) - ax³ + 19x² - 20x + 12 é divisível por (x - p)², onde a e p são inteiros positivos. Determine a e p

As possíveis raízes racionais de p(x) são:

p = +-1, +-2, +-3, +-4, +-6, +-12
q = +-1, +-2
p/q = +-1, +-1/2, +-2, +-3, +-3/2, +-4, +-6, +-12

As inteiras positivas são:

1, 2, 3, 4, 6, 12

Vamos testar as raízes, lembrando sempre que a deve ser positivo e inteiro:

p(1) = 2 - a + 19 - 20 + 12
p(1) = 13 - a --> Válido

p(2) = 32 - 8a + 76 - 40 + 12
p(2) = 80 - 8a --> Válido

p(3) = 162 - 27a + 171 - 60 + 12
p(3) = 285 - 27a --> Não serve

p(4) = 512 - 64a + 304 - 80 + 12
p(4) = 748 - 64a --> Não serve

p(6) = 2592 - 216a + 684 - 120 + 12
p(6) = 3168 - 216a --> Não serve

p(12) = 41472 - 1728a + 2736 - 240 + 12
p(12) = 43980 - 1728a --> Não serve

Agora, se p é raiz dupla de p(x), p é raiz de multiplicidade 1 de p'(x) (derivada de p(x) ).

Testando com as duas raízes, lembrando que a deve ser inteiro e positivo:

P'(x) = 8x³ - 3ax² + 38x - 20

Testando para p = 1:

P'(1) = 8 - 3a + 38 - 20
P'(1) = 26 - 3a --> Não serve

Testando para p = 2:

P'(2) = 64 - 12a + 76 - 20
P'(2) = 120 - 12a --> Serve
0 = 120 - 12a .:. a = 10

Logo: a = 10, p = 2. Verificando:

p(x) = 2x^4 - 10x³ + 19x² - 20x + 12.

Sabendo que 2 é raiz dupla, por Briot-Ruffini:

2|2 -10 19 -20 12
2|2  -6  7    -6  0
   2  -2  3     0

2x² - 2x +3 = 0
x = (2 +- i√(20))/4
x = (1 +- i√(20)/2


Das relações de girard:


2p + r + s = a/2
2p + (1 + i√(20))/2 + (1 - i√(20))/2  = a/2
2p + 1 = a/2
4p + 2 = a
a - 4p = 2 .:. 10 - 8 = 2 .:. 2 = 2


Penso que seja isso.


Att.,
Pedro

¹Caso quisesse, poderia fatorar √(20) = 2√5.

Pedro, não tenho gabarito, mas pelo jeito ta certo.

Foi usado conceitos que ainda não aprendi.
mas quando aprender vou ver a resolução com mais calma.

Obrigado

Qual parte você não conhecia? Talvez eu possa te ajudar a entender.

Uma pergunta: de onde é o exercício?

Att.,
Pedro

é de uma apostila que eu tenho aqui relacionada a quem quer ime.

essa parte "Agora, se p é raiz dupla de p(x), p é raiz de multiplicidade " 


tem multiplicidade aqui na apostila mas ela é abordada mais pra frente, ainda não cheguei

Ah sim.

É o seguinte:

Imagine o seguinte polinômio:

x² - 2x + 1 = 0

Veja que ele pode ser fatorado da seguinte maneira:

(x-1) * (x-1) = (x-1)²

Logo, 1 é raiz de multiplicidade 2, ou ainda, raiz dupla do polinômio, concorda?

Quanto à outra parte, o que ocorre é o seguinte:

"Se x é raiz de multiplicidade n de P(x), então x é raiz de multiplicidade x-1 de P'(x)".

Eram essas todas as suas dúvidas?

Att.,
Pedro

sim, agora entendi mt bem!!

Obrigado Pedro.

outra curiosidade, quanto tempo se levou pra fazer esse exercício, se lembra?
abraços

Bom, para a resolução mesmo, deve ter dado uns 2-3 minutos. Mas aí tem que ver que tem a digitação e tal e que aquelas contas chatas fiz na calculadora. O demorado desse exercício era encontrar P(1), P(2) ... P(12). O resto era fácil.

Porque?

Abraços,
Pedro

por que vendo a resolução, achei que numa prova iria demorar muito. rsrsrsrs

Mas até que foi rápido então.

Obrigado pela atenção Pedro e pela explicação!!

Precisando é só falar!