Equação irracional 0

por iaguete Qua Jan 15 2014, 21:32

$Equação irracional 0 Gif$

gabarito :0,+-1, $Equação irracional 0 Gif$

Eu tentei fazer por polinômio simétrico e cheguei ao absurdo de 0=1

por **Elcioschin** Qua Jan 15 2014, 21:50

a = (x - 1)^(1/3)
b = (x + 1)^(1/3)

a³ + b³ = (a + b).(a² - ab + b²)

(x - 1) + (x + 1) = [a^(1/3) + b^(1/3)].[(x - 1)^(2/3) - (x - 1)^(1/3).(x + 1)^(1/3) + (x + 1)^(2/3)]

2x = [x.2^(1/3].[(x - 1)^(2/3) + (x + 1)^(2/3) + (x² - 1)^(1/3)]

2x = x.[2^(1/3)].[(x - 1)^(2/3) + (x + 1)^(2/3) + (x² - 1)^(1/3)]

1ª raiz ----> x = 0

2 = [2^(1/3)].[(x - 1)^(2/3) + (x² - 1)^(1/3) + (x + 1)^(2/3)]

2^(2/3) = [(x - 1)^(2/3) + (x² - 1)^(1/3) + (x + 1)^(2/3)]

Resolva agora esta última equação e ache as outras duas raízes

por **mauk03** Qua Jan 15 2014, 22:15

Sabe-se que (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b).

Nesse caso, sendo a = ∛(x - 1) e b = ∛(x + 1), tem-se:
a³ = x - 1
b³ = x + 1
ab = ∛(x² - 1)
a + b = x∛2

Elevando os dois lados da equação ao cubo e usando essas relações:
x - 1 + x + 1 + 3∛(x² - 1)(x∛2) = 2x³
2x(x² - 1) = 3x∛(2x² - 2)
x = 0 ou 2(x² - 1) = 3∛(2x² - 2)
8(x² - 1)³ = 54(x² - 1)
x² = 1 ou 4(x² - 1)² = 27
x = +-1 ou 4x^4 - 8x² - 23 = 0

Fazendo y = x²:
4y² - 8y - 23 = 0
y = (2 + 3√3)/2 ou y = (2 - 3√3)/2
Assim, as raízes reais de 4x^4 - 8x² - 23 = 0 são x = √((2 + 3√3)/2) ou x = -√((2 + 3√3)/2)

S = {0, 1, -1, √((2 + 3√3)/2), -√((2 + 3√3)/2)}

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