Calculo Operacional

Alguém pode me explicar como é que o camarada resolveu esta equação?

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformada_de_Laplace

Estudando transformada de Laplace ein cara.
 Minha preferida. Esta equação trata de uma demostração de como podemos resolver uma equação diferencial substituindo termos operacionais por membros algébricos. É um método interessante geralmente utilizado na introdução a esse tipo de cálculo, já que se fundamenta nos mesmos princípios de todas as formas de transformada para este emprego.

A equação original é:



Chamando o operador derivada de D, transforma-se em:


Considerando que (D-α)    é um operador algébrico( afinal, é nisto que se baseia o cálculo operacional):







Agora vem o passo mais importante. Olhando na equação:




Sabemos que:



Assim o operador 1/D é a operação integral. Como era de se esperar já que são operações inversas. Prosseguindo com a equação anterior, a ideia é reduzir 1/(d- α ) em uma série de operações inversas que possam ser convertidas em integrais e a equação será resolvida. Assim tratamos deste denominador como um polinômio e expandimos-o em séries de taylor:



Para isso suponhamos que f(x)=x^2 e a=1:



Que é a solução de nossa equação que também poderia ser encontrada na forma geral que você indicou. Note que c1 é a constante de integração. Você poderia Testar com várias outras funções e concluir que o método é eficiente para qualquer equação em que o operador possa ser organizado como um polinômio e expandi-lo derivando cada termo da função na ordem encontrada encontrando a função solução.

Você pode provar facilmente que a fórmula geral funciona aplicando D-a ao lado direito encontrando f.  Uma demonstração dela nada rigorosa masa que pode ajudar seria da seguinte forma:

Queremos:


Multiplicando por e^(1-at):



Mas observe que podemos modificar o lado direito a fim de que tenhamos expoente igual a denominador, lembrando que (D-a)t=1=at:



A última passagem, por parecer estranha é plausível pois tratando D como algo puramente algébrico mas considerando suas propriedades:





O que não é completamente justificável. Assim para admitir a última passagem consideremos a natureza operacional de e^(d-a)t e o inverso sob todos os termos do lado, que são meramente algébricos! Assim antes de mais nada:





Entretanto into não prova nada além de que é possível representar operações diferenciais como termos algébricos. 



Onde fica D-a ≈ D para as exponenciais
Para algo completo sugiro que continue seus estudos com transformada de Laplace onde encontrará a relação: