Geometria espacial

por brayanbpo Ter 26 Nov 2013, 14:09

Um cristal com a forma de um prisma hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu origem a um sólido de 12 faces triangulares congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros das faces do prisma, conforme representado na figura.

Calcule a razão entre os volumes do sólido e do prisma.

Galera, eu estou com muita dúvida nesta questão, peço por favor que quem for resolvê-la, explique detalhadamente. Desde já, agradeço Geometria espacial Icon_smile

por **Elcioschin** Ter 26 Nov 2013, 15:02

Sejam x e h o lado da base e a altura do prisma.

Volume do prisma: Vp = 6.(x².√3/4).h ----> Vp = (3.√3/2).x².h

O lado y da base de cada pirâmide é a distância entre os pontos médios de dois lados consecutivos do prisma. Para entender desenhe um hexágono regular ABCDEF (representando a base média do prisma) e os pontos médios M e N de AB e BC, respectivamente. Una O aos pontos M e N:

OM = ON = MN = y ----> y = x.√3/2

Área da base de cada pirâmide ----> S = 6.y².√3/4 ---> S = 6.(3x²/4).√3/4 ---> S = (9.√3/8 ).x²

Altura de cada pirâmide = h/2

Volume do sólido ----> Vs = 2.S.(h/2) ----> Vs = S.h ----> Vs = (9.√3/8 ).x².h

Vs/Vp = (9.√3/8 ).x².h/(3.√3/2).x².h ----> Vs/Vp = 3/4

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