Demonstração em uma expressão
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Demonstração em uma expressão
por Davi Cesar Correia Jr. Sáb 12 Out 2013, 10:11
Prove que o número abaixo é inteiro:
Davi Cesar Correia Jr.- Padawan
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Re: Demonstração em uma expressão
por Luck Sáb 12 Out 2013, 14:20
S = cbrt[ 2 + 10(√3/9) ] + cbrt [ ( 2 - 10(√3/9) ]
(a+b)³ = (2 + 10(√3/9) )
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = ( 2 + 10(√3/9) )
parte racional: a³ + 3ab² = 2
parte irracional: b³ + 3a²b = 10√3/9
olhando a parte racional, por inspeção a = 1, assim obtemos b = √3/3 que confere.
2 + 10(√3/9) = (1 + (√3/3))³
2 - 10(√3/9) = (1 -(√3/3))³
Logo, S = 1 + (√3/3) + 1 - (√3/3)
S = 2
(a+b)³ = (2 + 10(√3/9) )
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = ( 2 + 10(√3/9) )
parte racional: a³ + 3ab² = 2
parte irracional: b³ + 3a²b = 10√3/9
olhando a parte racional, por inspeção a = 1, assim obtemos b = √3/3 que confere.
2 + 10(√3/9) = (1 + (√3/3))³
2 - 10(√3/9) = (1 -(√3/3))³
Logo, S = 1 + (√3/3) + 1 - (√3/3)
S = 2
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Re: Demonstração em uma expressão
por Davi Cesar Correia Jr. Sáb 12 Out 2013, 16:54
Cara, deixa eu ver se eu entendi, você, digamos, fatorou cada um dos elementos (sem a raiz cúbica), como por exemplo fazendo: x² + 4x + 4 = (x + 2)² ?
Se sim, é por isso que fez isso: parte racional: a³ + 3ab² = 2
parte irracional: b³ + 3a²b = 10√3/9 ?
E daí vale pra qualquer expressão na forma (x + y)³?
E como assim inspeção? Voce meio que "chutou" um valor, e acabou dando certo? Como é isso?
Desde já agradeço!!
Se sim, é por isso que fez isso: parte racional: a³ + 3ab² = 2
parte irracional: b³ + 3a²b = 10√3/9 ?
E daí vale pra qualquer expressão na forma (x + y)³?
E como assim inspeção? Voce meio que "chutou" um valor, e acabou dando certo? Como é isso?
Desde já agradeço!!
Davi Cesar Correia Jr.- Padawan
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Re: Demonstração em uma expressão
por Luck Sáb 12 Out 2013, 18:02
Como o enunciado pede para provar que a expressão é um número inteiro, então parti da hipótese de que o que está dentro da raiz é cubo perfeito, assim , comparando com (a+b)³ e chutando valores vc encontra a e b.Davi Cesar Correia Jr. escreveu:Cara, deixa eu ver se eu entendi, você, digamos, fatorou cada um dos elementos (sem a raiz cúbica), como por exemplo fazendo: x² + 4x + 4 = (x + 2)² ?
Se sim, é por isso que fez isso: parte racional: a³ + 3ab² = 2
parte irracional: b³ + 3a²b = 10√3/9 ?
E daí vale pra qualquer expressão na forma (x + y)³?
E como assim inspeção? Voce meio que "chutou" um valor, e acabou dando certo? Como é isso?
Desde já agradeço!!
Outra solução:
x = cbrt[ 2 + 10(√3/9) ] + cbrt [ ( 2 - 10(√3/9) ]
elevando ao cubo, e usando que (a+b)³ = a³ + b³ + 3ab(a+b) :
x³ = 2 + 10(√3/9) + 2 - 10(√3/9) + 3 cbrt [(2 - 10(√3/9)) (( 2 - 10(√3/9)) ] x
x³ = 4 + 3xcbrt( 4 - (300/81))
x³ = 4 + 3xcbrt(8/27)
x³ = 4 + 2x
x³ -2x - 4 = 0
é fácil ver que raíz 2 é raíz, por briot-ruffini:
(x-2)(x²+2x+2) , que não tem raízes reais.
Logo x = 2.
Luck- Grupo
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Re: Demonstração em uma expressão
por Davi Cesar Correia Jr. Dom 13 Out 2013, 11:31
Ahh bom, entendi!! Então, voce meio que já parte da hipótese que o número é inteiro, e usa artifícios para provar isso.
Muito obrigado!
Muito obrigado!
Davi Cesar Correia Jr.- Padawan
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