Circunferências

Uma corda comum a dois círculos secantes mede 16cm. Sendo 10cm e 17cm as medidas dos raios dos círculos, determine a distância entre seus centros.

Resposta: 21cm

engjr escreveu:Uma corda comum a dois círculos secantes mede 16cm. Sendo 10cm e 17cm as medidas dos raios dos círculos, determine a distância entre seus centros.

Resposta: 21cm

Bom dia,

Essa corda comum é atravessada, em seu ponto médio, pela reta suporte onde se assentam os diâmetros das referidas circunferências.

Aplicando potência de um ponto na circunferência menor, e sendo esse ponto o cruzamento entre a corda e a reta suporte dos diâmetros, vem:

Chamemos de O1 o centro da circunferência cujo raio = 10 cm e de 02 aquela cujo raio = 17 cm.

Chamemos de A e B os extremos do diâmetro da circunferência menor e de C e D os extremos do diâmetro da maior.

Chamemos de M e N os extremos da corda comum a ambas, situada na região em que são secantes entre si.

Chamamos de P o ponto médio de MN e de CB.

Temos, portanto, baseando-nos na potência desse ponto P em relação à circunferência de raio igual a 10 cm:

PA * PB = PM * PN

PM = PN = 16/2 = 8 cm

PA = diâmetro - PB
PA = 2*10 cm - PB
PA = 20 - PB

Logo, fica:
(20 - PB) * PB = 8 * 8
20*PB - (PB)² = 64
(PB)² - 20*PB + 64 = 0

Resolvendo por Bhaskara, obtém-se:
PB' = 16 cm
PB" = 4 cm 

PA = 20 - PB
PA' = 20 - PB' = 20 - 16 = 4
PA" = 20 - PB" = 20 - 4 = 16

Conferindo:
PA * PB = 16 * 4 = 64
PM * PN = 8 *8 = 64

Distância entre os centros das circunferências:
O1O2 = 01P + PO2 = 10 cm - PB + 17 cm - PC = 27 cm - 4 cm - 4 cm
O1O2 = 19 cm




Um abraço.