Reta e Circunferência (2)

Mostre que a equação x²+y²-2x+4y=0 descreve os pontos de uma circunferência. Determine as equações das retas tangentes à essa circunferência cuja declividade é m=2.

x² + y² - 2x + 4y = 0

x² - 2x + y² + 4y = 0

x² - 2x + 4 + y² + 4y + 4 = 0 + 1 + 4 = 5

( x - 1 )² + ( y + 2 )² = 5

circunferência de centro no ponto ( 1, - 2 ) e raio = \/5


Retas tangentes com coeficiente angular = 2:

- reta (t) que passa pelo ponto ( 1, - 2 ) com m = 2:

y + 2 = 2*( x - 1 ) -> (t): y = 2x - 4 (I)

- reta (s) perpendicular à reta (t) passando por ( 1, - 2 ):

m = - 1/2

y + 2 = ( - 1/2 )*( x - 1 )-> (s): y = ( - 1/2)x - ( 3/2 ) (II)


- interseção de (s) com circunferência:

( x - 1 )² + ( - 1/2x - (3/2) + 2 )² = 5

4x² - 8x + 4 + 1 - 2x + x² = 20

5x² - 10x - 15 = 0

x² - 2x - 3 = 0 -> raízes: x = 3 ou x = -1

para x = 3 -> - 3 => ( 3, - 3 )

para x = - 1 -> y = - 1 -> ( - 1, - 1 )

Assim:

reta por ( 3, - 3 ) com m = 2

y + 3 = 2*( x - 3 ) -> y + 3 = 2x - 6 -> y = 2x - 9 


reta por ( -1, - 1 ) com m= 2:

y + 1 = 2*( x + 1 ) -> y + 1 = 2x + 2 -> y = 2x + 1


Confira com gabarito.