Condição de m e n

Dê condições sobre "m" e "n" para que as retas "r" e "s" determinem um plano:



Link Externo:
https://2img.net/r/ihimizer/img32/1949/rpz.gif

Gabarito:


Nos dois primeiros casos, r e s são paralelas distintas. No terceiro, são concorrentes. 

Com essas constantes a análise fica bem trabalhosa..
r: seja y = t
x = 1 + t
n(1+t) - t -2z + m + 1 = 0 ∴ n + nt - t -2z + m + 1 = 0 
z = [(n-1)/2]t + (n+m+1)/2
então vr (1 , 1 , (n-1)/2  )
P1 = (1 , 0 , (n+m+1)/2 )

s: seja, z = k , subtraindo a segunda da primeira temos:
y - nk + 11 - m - n = 0 ∴ y = nk + m + n - 11
x = nk - m -n
então vs ( n , n , 1 )
P2  = ( -m-n , m+n-11 , 0)

P1P2 = (-m-n-1 , m+n-11 , -(n+m+1)/2 )
note que se n = -1 , r e s são paralelas distintas,  n = 2 também ( com a condição de m# 3, pq se m=3 olhando para P1P2  verá que as retas seriam coincidentes e não determinam um plano) 

se vr, vs e P1P2 são coplanares o produto misto é nulo, então calcule [m,n,P1P2] = 0 e tente encontrar as outras condições...