Equação Trigonométrica_UFMA

por Rodrig0.o18 Sáb 03 Ago 2013, 17:11

Olá pessoal. Peço a ajuda de vocês com essa equação trigonométrica aqui:

(UFMA) Todas as raízes da equação senx (sen²x - 3cos²x)² - senx (4cos²x - 1) = 0 para x pertencente ao intervalo [0,π] são:

a) 0 , π/4 , π/3 , 2π/3 , 3π/4 e π d) π/4 , π/3 , 3π/4 e π

b) 0 , π/4 , π/3 , 2π/3 , 3π/4 e π/2 e) 0 , π/4 , 5π/6 , π/3 e 7π/4

c) π/4 , π/3 , 3π/4 , 5π/6 e π

Resposta:

Spoiler:

por **Elcioschin** Sáb 03 Ago 2013, 18:36

1) Coloque senx em evidência ----> senx.[.........] = 0

1ª solução ---> senx = 0 ----> x = 0 e x = pi

2) (sen²x - 3.cos²x)² - (4.cos²x - 1) = 0 ----> Substitua sen²x por (1 - cos²x)

Efetue as contas e obtenha uma equação bi-quadrada na variável cos²x

Calcule as raízes

Pronto

por Rodrig0.o18 Sáb 03 Ago 2013, 19:22

Elcioschin, segui os passos que você indicou, mas a minha resposta não bate com nenhuma das opções da questão. Vou mostrar aqui como estou resolvendo...
Vou partir daqui:

(sen²x - 3cos²x)² - (4cos²x - 1) = 0

(sen²x - 3cos²x)² = (4cos²x - 1)

Substituindo sen²x por 1-cos²x----------> (1 - 4cos²x)² = (4cos²x - 1)

Como (1 - 4cos²x)² é o mesmo que (4cos²x -1)²

(4cos²x -1)² = (4cos²x -1) ----------------> (4cos²x -1) = 1

4cos²x = 2 ----------------------> cosx = + ou - √2/2

Logo x pode ser 0, π , π/4 e 3π/4

O que eu estou errando?

por **Elcioschin** Sáb 03 Ago 2013, 20:17

(4.cos²x - 1)² = (4cos²x - 1)

Você não pode dividir os dois membros por (4cos²x - 1).
Assim fazendo você elimina a solução 4.cos²x - 1 = 0
O correto é:

(4.cos²x - 1)² - (4cos²x - 1) = 0

(4.cos²x - 1).[(4.cos²x - 1) - 1] = 0

(4.cos²x - 1).(4.cos²x - 2) = 0 ----> Temos duas soluções:

1) 4.cos²x - 1 = 0 ----> cos²x = 1/4 ----> cosx = ± 1/2 ---> x = pi/3 e x = 2pi/3

2) 4.cos²x - 2 = 0 ---> cos²x = 1/2 ---> cosx = ± \/2/2 ---> x = pi/4 e x = 3pi/4