Indução (P.I.F)

Sendo n ∈ ℕ,verifique a validade de .

Por indução, para n = 1 : 1! > (1/3) ok
supondo válido para n : n! > (n/3)^n  (I)
n -> n+1 :
(n+1)! > ((n+1)/3)^(n+1) (tese)
multiplicando (I) por (n+1) :
(n+1)! > [(n/3)^n] (n+1)

agora vamos comparar [(n/3)^n](n+1) com ((n+1)/3)^(n+1), sendo que se o primeiro for maior ou igual comprova a tese.
[(n/3)^n](n+1) ? ((n+1)/3)^(n+1)
[(n/3)^n](n+1) ? [(n+1)/3]^n . [(n+1)/3]
n^n / 3^n ? (n+1)^n / 3^(n+1) , tirando raiz n-ésima de ambos os lados:
n/3 ? (n+1)/3*(3^(1/n))
n ? (n+1)/3^(1/n)
note que 3^(1/n) é sempre maior que 1 para qualquer n natural, entao o lado esquerdo é maior, e portanto , (n+1)! > ((n+1)/3)^(n+1) c.q.d

poderia ser assim tbm?

up:pirat:

Man Utd escreveu:poderia ser assim tbm?

Está sim, mas acho que nao é muito trivial ver que (n/(n+1))^n > 1/3 , a partir daí vc pode continuar assim:
[(n+1)/n]^n < 3 
[1 + (1/n)]^n < 3
quando n é muito grande temos aproximadamente 1 < 3 .