Congruência

( Bay Area - 99) Prove que  é divisível por 10.

Considere 'S' como a soma dada no enunciado.
1)1993 ≡ 3 (mód 10) => 1993^(1993) ≡ 3^(1993) (mód 10).
Mas 3^4 ≡ 1 (mód 10) => 3^(1992) ≡ 1 (mód 10) => 3^(1993) ≡ 3 (mód 10) => 1993^(1993) ≡ 3 (mód 10).
2)1994 ≡ 4 (mód 10) => 1994^(1994) ≡ 4^(1994) (mód 10).
Perceba que 4² ≡ 6 (mód 10), 4^3 ≡ 24 ≡ 4 (mód 10), 4^4 ≡ 4² ≡ 6,...
Ou seja, temos um sistema de restos (mód 10) que é (4,6).
Assim, pode-se dizer que 4^n ≡  6 (mód 10) para qualquer 'n' par maior ou igual a 2   e  4^m ≡  4 (mód 10) para qualquer 'm' ímpar maior ou igual a 3.
Logo, 4^(1994) ≡  6 (mód 10) => 1994^(1994) ≡ 6 (mód 10).
3)1995 ≡  5 (mód 10) => 1995^(1995) ≡  5^(1995) (mód 10).
É fácil mostrar que 5^n ≡ 5 (mód 10) para qualquer 'n' natural maior ou igual a 2. Logo, 5^(1995) ≡  5 (mód 10) => 1995^(1995) ≡  5 (mód 10).
4)1996 ≡ 6 (mód 10) => 1996^(1996) ≡ 6^(1996) (mód 10).
É fácil mostrar que 6^n ≡ 6 (mód 10). Logo, 6^(1996) ≡ 6 (mód 10) =>
=> 1996^(1996) ≡  6 (mód 10).
5)Assim, S ≡  3 + 6 + 5 + 6 (mód 10) => S ≡ 0 (mód 10).
C.q.d