Folha dobrada

Uma folha de papel retangular de lados a, b (a > b) é dobrada, de modo que dois vértices opostos coincidam. Qual é o comprimento da dobra?

Vamos lá: Para esse exercício é bom você pegar uma folha e dobrar para ver como é que fica. Após dobrar, desdobre e pense na dobra X como a diagonal de um novo retângulo EFGH de base EH(fig.4). Com isso, por pitágoras: X²= b² + Y².(I)

2Z + Y = a -----> Z=(a-Y)/2 (II)

Refaça a dobradura e repare que o espaço que sobra acima da folha é um triângulo retângulo (fig.2) de catetos "b" e "Z" e hipotenusa "(Y+Z)".
Assim, (Z+Y)²=b²+Z² -----> Z² + 2ZY + Y² = b² + Z² -----> Y²+ 2ZY - b² = 0 (III)
Substituindo (II) em (III):
Y² + 2(a-Y)/2Y - b² -------> Y² + Ya - Y² - b² =0 ----> Ya=b² ---> Y=b²/a
Substituindo em (I):
X² = b² + (b²/a)² ---------> X=√ b² + (b²/a)²

UFA!!!! Essa deu trabalho

Solução corretíssima. Parabéns!

Vou apenas simplificar a expressão final:

Y² = b² + (b²/a)² ----> Y² = b² + (b²)²/a² ----> Y² = [a²b² + (b²)²]/a²

Y² = (b²/a²)*(a² + b²) ----> Y = (b/a)*√(a² + b²)

Esta expressão permite uma análise simples

Se a figura for um quadrado (a = b), Y coincide com a diagonal do quadrado:

Y = (a/a)√(a² + a²) -----> Y = a√2