Quantas funções existem?

A e B são conjuntos tais que #A = n e #B = r. Quantas funções ƒ: A → B existem?

Não entendi como chegar ao resultado apresentado no gabarito. Alguém pode me explicar, por favor?

Spoiler:

Seja A = {a1,a2,a3,...,an} e B = {b1,b2,b3,...,br}

Como cada elemento de A se transforma em um de B por uma Relação, as funções vão ser definidas por "n-uplas" de imagens. Como pode ser qualquer função, os elementos da n-upla não precisam ser distintos.



Portanto o número de funções é dado por r^n.

Não entendi essa resolução, alguém poderia explicá-la ?

Andrew Wiles escreveu:Não entendi essa resolução, alguém poderia explicá-la ?

Para ser função cada valor elemento de A é correspondido por um elemento de B.
Assim, há r modos de de 'ligar' o primeiro elemento de A à B, r modos de ligar o segundo à B , .... , r modo de ligar o n-ésimo elemento de A à B. Logo, r^n .

Ah, entendo, muito obrigado !

Que é r e quem é n?

São os números de elementos dos conjuntos A e B.

Peço perdão desde já por ressuscitar este tópico, no entanto não entendi de fato a explicação.
Vou parafrasear um colega de outro fórum para explicar o porquê de não estar entendendo:
Se admitirmos que A {1,2} e B {1,2,3}, n=2 e r=3. O número de funções esperadas seria 3²=9.
Porém, só consigo enxergar os pares ordenados:
1,1;1,2;1,3;2,1;2,2;2,3 = 6, que seria o valor de n*r.
Alguém poderia me ajudar a encontrar o erro do raciocínio?

Boa noite.
Alguém poderia avaliar minha conclusão e dizer se estou pensando de maneira correta ?

n*r estaria correto caso n fosse um único elemento do domínio.Logo, r possibilidades de imagens para um elemento único r. (n=1 => n*r=r)

Quanto ao exemplo do RodrigoCaus :


"....Se admitirmos que A {1,2} e B {1,2,3}, n=2 e r=3. O número de funções esperadas seria 3²=9.
Porém, só consigo enxergar os pares ordenados:
1,1;1,2;1,3;2,1;2,2;2,3 = 6, que seria o valor de n*r"

A questão não é quantos pares ordenados podemos formar.Mas sim quantas funções pode-se formar.Deve-se analisar a situação como um todo.

Seguindo o raciocínio da questão original do tópico  para resolver o exemplo dado:
Para cada elemento do domínio teremos 3 possibilidades de imagens. (1,2 ou 3)

3 possibilidades de imagens para o primeiro elemento
3 possibilidades de imagens para o segundo elemento

Logo, 3*3 = 3²= 9 Possibilidades (P.F.C) 

"Fazendo na mão" :

Os possíveis pares ordenados são (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3).
Assim, ao procurar as possibilidades de funções: 
Fixando (1,1)
(1,1) (2,1)                          1º 
(1,1) (2,2)                          2º
(1,1) (2,3)                          3º ......
Fixando (1,2)
(1,2) (2,1)
(1,2) (2,2)
(1,2) (2,3)
Fixando (1,3)
(1,3) (2,1)
(1,3) (2,2)
(1,3) (2,3)                     .... 9º

Logo 3+3+3 = 3² = 9 Possibilidades

Ao fixar (2,1) (2,2) (2,3) as funções encontradas serão as mesmas.

Um abraço.

Gente,desculpe aí propor novamente discussão sobre esse tópico mas a parte do "fazer na mão " me deixouem dúvida, não são 9 funções? Aí tem 18?!! Não entendi