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Prove que não existem ...

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Mensagem por Victor M Dom 15 maio 2011, 12:31

Prove que não existem inteiros positivos x e y tais que x^3 + y^3 = 2^2009.

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Mensagem por mcgiorda Dom 15 maio 2011, 22:32

Temos

Ele afirma que x e y são inteiros.
E sabemos que 2^2009 é inteiro (fato).

O Último teorema de Fermat afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça
Prove que não existem ... Gif (n > 2)

c.q.d


Última edição por mcgiorda em Seg 16 maio 2011, 23:01, editado 2 vez(es)
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Mensagem por Victor M Seg 16 maio 2011, 09:22

Nessa caso que você citou, z não é um numero inteiro( 2009 não é divisivel por 3, fazendo assim a potencia um numero irracional), e assim a terna que traz a solução dessa equação não seria formada por exclusivamente por numero inteiros (apenas x e y teriam que ser). Logo o teorema não garantiria que essa equação não tem solução nos inteiros.

Meu raciocinio está correto ?

Cumprimentos, Victor M.

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Mensagem por Viniciuscoelho Seg 16 maio 2011, 13:13

Victor M , seu comentario esta correto.

Fiz assim:
x^3 + y^3 = 2^2009

Fatorando 2009, temos que 2009 = 2^(41*7*7)

Para soma de dois fatores temos duas possibilidades então,
a) x^3 + y^3 = 2^41 + 2^49
b) x^3 + y^3 = 2^(41*7) + 2^7

CASO A
Temos, entao, que:
x^3 = 2^41 e y^3 = 2^49
Logo
x = 2^(41/3) e y =2^(49/3)

Note que tanto o expoente de 2, em x e em y, não é inteiro, logo nem x, nem y serão inteiros também.


CASO B
Temos, entao, que:
x^3 = 2^(41*7) e y^3 = 2^7
Logo
x = 2^(287/3)=2^129 e y =2^(7/3)

Note que o expoente de 2, em y, não é inteiro, logo y não é inteiro.

Analisando os casos, temos que não existem x e y inteiros, simultaneamente, que satisfazem a igualdade.










Última edição por Viniciuscoelho em Seg 16 maio 2011, 13:40, editado 4 vez(es) (Motivo da edição : Correção da resolução)

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Mensagem por mcgiorda Seg 16 maio 2011, 14:05

tem razão, cometi um erro grave ao pensar que 2^2009 fosse inteiro...
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Mensagem por Viniciuscoelho Seg 16 maio 2011, 14:30

Note que: 2^2009 é inteiro, o que não é inteiro é 2^(2009/3).



Última edição por Viniciuscoelho em Seg 16 maio 2011, 14:42, editado 3 vez(es)

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Mensagem por mcgiorda Seg 16 maio 2011, 14:40

Cometi outro grave erro ao tentar consertar meu erro hsauhsua

Grato!
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Mensagem por Viniciuscoelho Seg 16 maio 2011, 14:43

Desculpe, Mcgiorda, seu raciocínio esta correto.

Como o teorema de Fermat garante que não há soluções inteiras para x,y, e z, se o expoente for maior que 2.(i)

Mcgiorda, utiizou um artificio algébrico para cairmos no caso do último teorema de Fermat, (i); o que "tornou" 2^2009 não-inteiro, garantindo que não há soluções inteiras para x e y, de forma bastante simples.

Muito inteligente.

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Mensagem por Victor M Ter 17 maio 2011, 08:53

Muito Obrigado Vinicius e mcgiorda.

Cumprimentos, Victor M.

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