Prove que não existem ...
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Prove que não existem ...
Prove que não existem inteiros positivos x e y tais que x^3 + y^3 = 2^2009.
Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 27
Localização : São José dos Campos
Re: Prove que não existem ...
Temos
Ele afirma que x e y são inteiros.
E sabemos que 2^2009 é inteiro (fato).
O Último teorema de Fermat afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça
(n > 2)
c.q.d
Ele afirma que x e y são inteiros.
E sabemos que 2^2009 é inteiro (fato).
O Último teorema de Fermat afirma que não existe nenhum conjunto de inteiros positivos x, y, z e n com n maior que 2 que satisfaça
(n > 2)
c.q.d
Última edição por mcgiorda em Seg 16 maio 2011, 23:01, editado 2 vez(es)
mcgiorda- Jedi
- Mensagens : 203
Data de inscrição : 05/05/2011
Idade : 30
Localização : Piracicaba - SP, Brasil
Re: Prove que não existem ...
Nessa caso que você citou, z não é um numero inteiro( 2009 não é divisivel por 3, fazendo assim a potencia um numero irracional), e assim a terna que traz a solução dessa equação não seria formada por exclusivamente por numero inteiros (apenas x e y teriam que ser). Logo o teorema não garantiria que essa equação não tem solução nos inteiros.
Meu raciocinio está correto ?
Cumprimentos, Victor M.
Meu raciocinio está correto ?
Cumprimentos, Victor M.
Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 27
Localização : São José dos Campos
Re: Prove que não existem ...
Victor M , seu comentario esta correto.
Fiz assim:
x^3 + y^3 = 2^2009
Fatorando 2009, temos que 2009 = 2^(41*7*7)
Para soma de dois fatores temos duas possibilidades então,
a) x^3 + y^3 = 2^41 + 2^49
b) x^3 + y^3 = 2^(41*7) + 2^7
CASO A
Temos, entao, que:
x^3 = 2^41 e y^3 = 2^49
Logo
x = 2^(41/3) e y =2^(49/3)
Note que tanto o expoente de 2, em x e em y, não é inteiro, logo nem x, nem y serão inteiros também.
CASO B
Temos, entao, que:
x^3 = 2^(41*7) e y^3 = 2^7
Logo
x = 2^(287/3)=2^129 e y =2^(7/3)
Note que o expoente de 2, em y, não é inteiro, logo y não é inteiro.
Analisando os casos, temos que não existem x e y inteiros, simultaneamente, que satisfazem a igualdade.
Fiz assim:
x^3 + y^3 = 2^2009
Fatorando 2009, temos que 2009 = 2^(41*7*7)
Para soma de dois fatores temos duas possibilidades então,
a) x^3 + y^3 = 2^41 + 2^49
b) x^3 + y^3 = 2^(41*7) + 2^7
CASO A
Temos, entao, que:
x^3 = 2^41 e y^3 = 2^49
Logo
x = 2^(41/3) e y =2^(49/3)
Note que tanto o expoente de 2, em x e em y, não é inteiro, logo nem x, nem y serão inteiros também.
CASO B
Temos, entao, que:
x^3 = 2^(41*7) e y^3 = 2^7
Logo
x = 2^(287/3)=2^129 e y =2^(7/3)
Note que o expoente de 2, em y, não é inteiro, logo y não é inteiro.
Analisando os casos, temos que não existem x e y inteiros, simultaneamente, que satisfazem a igualdade.
Última edição por Viniciuscoelho em Seg 16 maio 2011, 13:40, editado 4 vez(es) (Motivo da edição : Correção da resolução)
Viniciuscoelho- Fera
- Mensagens : 644
Data de inscrição : 25/12/2009
Idade : 35
Localização : Salvador
Re: Prove que não existem ...
tem razão, cometi um erro grave ao pensar que 2^2009 fosse inteiro...
mcgiorda- Jedi
- Mensagens : 203
Data de inscrição : 05/05/2011
Idade : 30
Localização : Piracicaba - SP, Brasil
Re: Prove que não existem ...
Note que: 2^2009 é inteiro, o que não é inteiro é 2^(2009/3).
Última edição por Viniciuscoelho em Seg 16 maio 2011, 14:42, editado 3 vez(es)
Viniciuscoelho- Fera
- Mensagens : 644
Data de inscrição : 25/12/2009
Idade : 35
Localização : Salvador
Re: Prove que não existem ...
Cometi outro grave erro ao tentar consertar meu erro hsauhsua
Grato!
Grato!
mcgiorda- Jedi
- Mensagens : 203
Data de inscrição : 05/05/2011
Idade : 30
Localização : Piracicaba - SP, Brasil
Re: Prove que não existem ...
Desculpe, Mcgiorda, seu raciocínio esta correto.
Como o teorema de Fermat garante que não há soluções inteiras para x,y, e z, se o expoente for maior que 2.(i)
Mcgiorda, utiizou um artificio algébrico para cairmos no caso do último teorema de Fermat, (i); o que "tornou" 2^2009 não-inteiro, garantindo que não há soluções inteiras para x e y, de forma bastante simples.
Muito inteligente.
Como o teorema de Fermat garante que não há soluções inteiras para x,y, e z, se o expoente for maior que 2.(i)
Mcgiorda, utiizou um artificio algébrico para cairmos no caso do último teorema de Fermat, (i); o que "tornou" 2^2009 não-inteiro, garantindo que não há soluções inteiras para x e y, de forma bastante simples.
Muito inteligente.
Viniciuscoelho- Fera
- Mensagens : 644
Data de inscrição : 25/12/2009
Idade : 35
Localização : Salvador
Re: Prove que não existem ...
Muito Obrigado Vinicius e mcgiorda.
Cumprimentos, Victor M.
Cumprimentos, Victor M.
Victor M- Elite Jedi
- Mensagens : 408
Data de inscrição : 18/01/2011
Idade : 27
Localização : São José dos Campos
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