l Invitation Challenge - 2001 l

por philipeph Sáb Jun 01 2013, 03:49

Pontos X e Y são escolhidos nos lados BC e CD, respectivamente de um quadrado ABCD, de modo que (ângulo)AXY = 90º .Prove que o lado do quadrado é igual a :

AX² / √[ AX² + (AX - XY)² ]

por **JOAO [ITA]** Sáb Jun 01 2013, 06:10

Fiz um desenho para você ir acompanhando a resolução:

l Invitation Challenge - 2001 l Quadrados

A ideia da minha resolução é escrever a área do quadrado de dois modos e depois igualar as duas expressões para encontrar o lado L do quadrado.

Resolução:

Tem-se que a área do quadrado pode ser dada por: S = L² ----> (eq1)

Usando o teorema de Pitágoras, pode-se escrever as seguintes relações:

No triângulo AXY: x² = y² + a² ---> (eq2)

No triângulo ADY: DY = (x² - L²)^(1/2) => (eq2): DY = (y² - L² + a²)^(1/2) --> (eq3)

No triângulo ABX: BX = (y² - L²)^(1/2) ---> (eq4)

De (eq3), vem: YC = L - (y² - L² + a²)^(1/2) ----> (eq5)

De (eq4), vem: XC = L - (y² - L²)^(1/2) ----> (eq6)

Observe, agora, que a área do quadrado também pode ser dada por: S = 1 + 2 + 3 + 4, então:
(Obs: Agora vou usar LaTeX para ficar melhor de enxergar):
l Invitation Challenge - 2001 l Codecogseqn99

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por philipeph Sáb Jun 01 2013, 06:59

Muito bom,João.

Valeu pela grande força,resolução impressionante.Abraço!

O infinito é o limite.

por EstudanteCiencias Qui maio 04 2017, 09:51

Pessoal, alguem pode re-inserir os calculos a partir daqui: "Observe, agora, que a área do quadrado também pode ser dada por: S = 1 + 2 + 3 + 4, então:
(Obs: Agora vou usar LaTeX para ficar melhor de enxergar):" ....