Fund. de matemática elementar 9. Áreas 999

por Henriquenavaer Qui 23 maio 2013, 15:20

Calcule a área de um trapézio que se obtém ligando os pontos de tangência de duas retas tangentes externas a dois círculos tangentes exteriormente, sabendo que os raios dos círculos medem 9 cm e 4 cm, e a soma das bases do trapézio 24 cm.
Resp = 1728/ 13 cm²

por Ademir Sott Sex 14 Jun 2013, 16:21

Apresentando resolução:

Fund. de matemática elementar 9. Áreas 999 Sbge

Temos que AB = 9, GC = 4, AG = 9 + 4 = 13.
Traçando GH // BC, (figura 2) temos o triângulo retângulo GHA , onde:

GH² = GA² – HA² Þ
GH² = 13² – (9 – 4)² Û
GH² = 169 – 25 = 144 Û
GH = 12 = BC.

Na figura 2, temos que :
Sen A = GH/GA = 12/13 Þ Sen A = 0,923
Partindo de: sen² + cos² = 1
Þ cos² A = 1 – (0,923)² =
Þ cos² A = 1 – 0,852 =
Þ cos² A = 0,148
Þ cos A = 0,385

Note que sen² A + cos² A = 1.

No triângulo BFA, tiramos:

BF = BA x sen A = 9. 0,923 = 8,31 cm e
AF = AB x cos A = 9. 0,385 = 3,47 cm.

No triângulo CGH, o ângulo G = ângulo A, pela propriedade (paralelas CG e AB com transversal AG – ângulos correspondentes).

Disto podemos obter:
GH = GC.cos G = 4.0,385 = 1,54 cm e
CH = GC.sen G = 4.0,923 = 3,47 cm.

As bases do trapézio descrito, BCDE, são então
BE = 2.BF = 2. 8,31 = 16,62 cm e
CD = 2.CH = 2.3,69 = 7,38 cm

A soma das bases é 16,62 + 7,38 = 24 cm (dado fornecido no enunciado).

A altura do trapézio (FH) é :
FH = AG + GH – AF
FH = 13 + 1,54 – 3,47
FH = 11,07 cm

Assim, a área do trapézio (A):
A = (BE + CD) x FH / 2, vale:
A = (16,62 + 7,38 ) . 21,49 / 2
A = (23,92) x 11,07 / 2
A = 265,68 / 2
A = 132,84 cm² ou por aproximação 1728 / 13 cm²
Espero ter ajudado e até mais

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